Theorem issubrg2 14336

Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrg2.b	|- B = ( Base ` R )
issubrg2.o	|- .1. = ( 1r ` R )
issubrg2.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
issubrg2	|- ( R e. Ring -> ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y   x, .x. , y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrg2

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14322	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		issubrg2.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
3	2	subrg1cl 14324	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> .1. e. A )
4		issubrg2.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
5	4	subrgmcl 14328	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ x e. A /\ y e. A ) -> ( x .x. y ) e. A )
6	5	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x .x. y ) e. A )
7	6	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
8	1, 3, 7	3jca 1204	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> R e. Ring )
10		simpr1 1030	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
11		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
12	11	subgbas 13845	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
14		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( R ↾s A ) = ( R ↾s A ) )
15		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
16		id 19	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
17		subgrcl 13846	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
18	14, 15, 16, 17	ressplusgd 13292	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
20	11, 4	ressmulrg 13308	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ R e. Grp ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
21	10, 17, 20	syl2anc2 412	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
22	11	subggrp 13844	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
23	10, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
24		simpr3 1032	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
25		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( x .x. y ) = ( u .x. y ) )
26	25	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( x .x. y ) e. A <-> ( u .x. y ) e. A ) )
27		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( u .x. y ) = ( u .x. v ) )
28	27	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( u .x. y ) e. A <-> ( u .x. v ) e. A ) )
29	26, 28	rspc2v 2924	. . . . . . 7 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A -> ( u .x. v ) e. A ) )
30	24, 29	syl5com 29	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A ) )
31	30	3impib 1228	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A )
32		issubrg2.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
33	32	subgss 13841	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A C_ B )
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A C_ B )
35	34	sseld 3227	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( u e. A -> u e. B ) )
36	34	sseld 3227	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( v e. A -> v e. B ) )
37	34	sseld 3227	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) )
38	35, 36, 37	3anim123d 1356	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
39	38	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
40	32, 4	ringass 14110	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
41	40	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
42	39, 41	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
43		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44	32, 43, 4	ringdi 14112	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
45	44	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
46	39, 45	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
47	32, 43, 4	ringdir 14113	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
48	47	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
49	39, 48	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
50		simpr2 1031	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> .1. e. A )
51	35	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> u e. B )
52	32, 4, 2	ringlidm 14117	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ u e. B ) -> ( .1. .x. u ) = u )
53	52	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. B ) -> ( .1. .x. u ) = u )
54	51, 53	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> ( .1. .x. u ) = u )
55	32, 4, 2	ringridm 14118	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ u e. B ) -> ( u .x. .1. ) = u )
56	55	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. B ) -> ( u .x. .1. ) = u )
57	51, 56	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> ( u .x. .1. ) = u )
58	13, 19, 21, 23, 31, 42, 46, 49, 50, 54, 57	isringd 14135	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
59	34, 50	jca 306	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( A C_ B /\ .1. e. A ) )
60	32, 2	issubrg 14316	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ B /\ .1. e. A ) ) )
61	9, 58, 59, 60	syl21anbrc 1209	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubRing ` R ) )
62	61	ex 115	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) -> A e. (SubRing ` R ) ) )
63	8, 62	impbid2 143	1 |- ( R e. Ring -> ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   ↾_s cress 13163   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241   Grpcgrp 13663  SubGrpcsubg 13834   1rcur 14053   Ringcrg 14090  SubRingcsubrg 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-subg 13837  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092  df-subrg 14314

This theorem is referenced by:  subrgintm  14338  issubrg3  14342  issubrgd  14548  cnsubrglem  14676