Theorem issubrg2 14205

Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrg2.b	|- B = ( Base ` R )
issubrg2.o	|- .1. = ( 1r ` R )
issubrg2.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
issubrg2	|- ( R e. Ring -> ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y   x, .x. , y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrg2

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 14191	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		issubrg2.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
3	2	subrg1cl 14193	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> .1. e. A )
4		issubrg2.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
5	4	subrgmcl 14197	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ x e. A /\ y e. A ) -> ( x .x. y ) e. A )
6	5	3expb 1228	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x .x. y ) e. A )
7	6	ralrimivva 2612	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
8	1, 3, 7	3jca 1201	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> R e. Ring )
10		simpr1 1027	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
11		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
12	11	subgbas 13715	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
14		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( R ↾s A ) = ( R ↾s A ) )
15		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
16		id 19	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
17		subgrcl 13716	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
18	14, 15, 16, 17	ressplusgd 13162	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
20	11, 4	ressmulrg 13178	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ R e. Grp ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
21	10, 17, 20	syl2anc2 412	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
22	11	subggrp 13714	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
23	10, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
24		simpr3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
25		oveq1 6008	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( x .x. y ) = ( u .x. y ) )
26	25	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( x .x. y ) e. A <-> ( u .x. y ) e. A ) )
27		oveq2 6009	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( u .x. y ) = ( u .x. v ) )
28	27	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( u .x. y ) e. A <-> ( u .x. v ) e. A ) )
29	26, 28	rspc2v 2920	. . . . . . 7 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A -> ( u .x. v ) e. A ) )
30	24, 29	syl5com 29	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A ) )
31	30	3impib 1225	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A )
32		issubrg2.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
33	32	subgss 13711	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A C_ B )
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A C_ B )
35	34	sseld 3223	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( u e. A -> u e. B ) )
36	34	sseld 3223	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( v e. A -> v e. B ) )
37	34	sseld 3223	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) )
38	35, 36, 37	3anim123d 1353	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
39	38	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
40	32, 4	ringass 13979	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
41	40	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
42	39, 41	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
43		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44	32, 43, 4	ringdi 13981	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
45	44	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
46	39, 45	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
47	32, 43, 4	ringdir 13982	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
48	47	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
49	39, 48	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
50		simpr2 1028	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> .1. e. A )
51	35	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> u e. B )
52	32, 4, 2	ringlidm 13986	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ u e. B ) -> ( .1. .x. u ) = u )
53	52	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. B ) -> ( .1. .x. u ) = u )
54	51, 53	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> ( .1. .x. u ) = u )
55	32, 4, 2	ringridm 13987	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ u e. B ) -> ( u .x. .1. ) = u )
56	55	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. B ) -> ( u .x. .1. ) = u )
57	51, 56	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> ( u .x. .1. ) = u )
58	13, 19, 21, 23, 31, 42, 46, 49, 50, 54, 57	isringd 14004	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
59	34, 50	jca 306	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( A C_ B /\ .1. e. A ) )
60	32, 2	issubrg 14185	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ B /\ .1. e. A ) ) )
61	9, 58, 59, 60	syl21anbrc 1206	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubRing ` R ) )
62	61	ex 115	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) -> A e. (SubRing ` R ) ) )
63	8, 62	impbid2 143	1 |- ( R e. Ring -> ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   ↾_s cress 13033   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   Grpcgrp 13533  SubGrpcsubg 13704   1rcur 13922   Ringcrg 13959  SubRingcsubrg 14181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-subg 13707  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-subrg 14183

This theorem is referenced by:  subrgintm  14207  issubrg3  14211  issubrgd  14416  cnsubrglem  14544