Theorem issubrg2 13300

Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrg2.b	|- B = ( Base ` R )
issubrg2.o	|- .1. = ( 1r ` R )
issubrg2.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
issubrg2	|- ( R e. Ring -> ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y   x, .x. , y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrg2

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 13286	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
2		issubrg2.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
3	2	subrg1cl 13288	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> .1. e. A )
4		issubrg2.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
5	4	subrgmcl 13292	. . . . 5 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ x e. A /\ y e. A ) -> ( x .x. y ) e. A )
6	5	3expb 1204	. . . 4 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x .x. y ) e. A )
7	6	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
8	1, 3, 7	3jca 1177	. 2 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) )
9		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> R e. Ring )
10		simpr1 1003	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
11		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
12	11	subgbas 12969	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
14		eqidd 2178	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( R ↾s A ) = ( R ↾s A ) )
15		eqidd 2178	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
16		id 19	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )
17		subgrcl 12970	. . . . . . 7 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> R e. Grp )
18	14, 15, 16, 17	ressplusgd 12579	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( +g ` R ) = ( +g ` ( R ↾s A ) ) )
20	11, 4	ressmulrg 12595	. . . . . 6 |- ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ R e. Grp ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
21	10, 17, 20	syl2anc2 412	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> .x. = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
22	11	subggrp 12968	. . . . . 6 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
23	10, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
24		simpr3 1005	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A )
25		oveq1 5879	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( x .x. y ) = ( u .x. y ) )
26	25	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( ( x .x. y ) e. A <-> ( u .x. y ) e. A ) )
27		oveq2 5880	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( u .x. y ) = ( u .x. v ) )
28	27	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( u .x. y ) e. A <-> ( u .x. v ) e. A ) )
29	26, 28	rspc2v 2854	. . . . . . 7 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A -> ( u .x. v ) e. A ) )
30	24, 29	syl5com 29	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A ) )
31	30	3impib 1201	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A /\ v e. A ) -> ( u .x. v ) e. A )
32		issubrg2.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
33	32	subgss 12965	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (SubGrp ` R ) -> A C_ B )
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A C_ B )
35	34	sseld 3154	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( u e. A -> u e. B ) )
36	34	sseld 3154	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( v e. A -> v e. B ) )
37	34	sseld 3154	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) )
38	35, 36, 37	3anim123d 1319	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
39	38	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) )
40	32, 4	ringass 13130	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
41	40	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
42	39, 41	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u .x. v ) .x. w ) = ( u .x. ( v .x. w ) ) )
43		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44	32, 43, 4	ringdi 13132	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
45	44	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
46	39, 45	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( u .x. ( v ( +g ` R ) w ) ) = ( ( u .x. v ) ( +g ` R ) ( u .x. w ) ) )
47	32, 43, 4	ringdir 13133	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
48	47	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
49	39, 48	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) v ) .x. w ) = ( ( u .x. w ) ( +g ` R ) ( v .x. w ) ) )
50		simpr2 1004	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> .1. e. A )
51	35	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> u e. B )
52	32, 4, 2	ringlidm 13137	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ u e. B ) -> ( .1. .x. u ) = u )
53	52	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. B ) -> ( .1. .x. u ) = u )
54	51, 53	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> ( .1. .x. u ) = u )
55	32, 4, 2	ringridm 13138	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ u e. B ) -> ( u .x. .1. ) = u )
56	55	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. B ) -> ( u .x. .1. ) = u )
57	51, 56	syldan 282	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) /\ u e. A ) -> ( u .x. .1. ) = u )
58	13, 19, 21, 23, 31, 42, 46, 49, 50, 54, 57	isringd 13151	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
59	34, 50	jca 306	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> ( A C_ B /\ .1. e. A ) )
60	32, 2	issubrg 13280	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( ( R e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( A C_ B /\ .1. e. A ) ) )
61	9, 58, 59, 60	syl21anbrc 1182	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) -> A e. (SubRing ` R ) )
62	61	ex 115	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) -> A e. (SubRing ` R ) ) )
63	8, 62	impbid2 143	1 |- ( R e. Ring -> ( A e. (SubRing ` R ) <-> ( A e. (SubGrp ` R ) /\ .1. e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x .x. y ) e. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3129   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   ↾_s cress 12455   +g cplusg 12528   .rcmulr 12529   Grpcgrp 12809  SubGrpcsubg 12958   1rcur 13073   Ringcrg 13110  SubRingcsubrg 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-subg 12961  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-ring 13112  df-subrg 13278

This theorem is referenced by:  subrgintm  13302  issubrg3  13306  cnsubrglem  13343