Theorem subrngrcl 14434

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngrcl	|- ( A e. (SubRng ` R ) -> R e. Rng )

Proof of Theorem subrngrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2	1	issubrng 14430	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) <-> ( R e. Rng /\ ( R ↾s A ) e. Rng /\ A C_ ( Base ` R ) ) )
3	2	simp1bi 1039	1 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> R e. Rng )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   ↾_s cress 13297  Rngcrng 14160  SubRngcsubrng 14428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-subrng 14429

This theorem is referenced by:  subrngsubg  14435  subrngringnsg  14436  subrngmcl  14440  opprsubrngg  14442  subrngintm  14443  subsubrng  14445