Theorem sumeq1i 11509

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	|- A = B

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	|- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 |- A = B
2		sumeq1 11501	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Syntax hints:   = wceq 1364   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-seqfrec 10522  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  sumeq12i  11511  fsump1i  11579  fsum2d  11581  fsumxp  11582  isumnn0nn  11639  arisum  11644  arisum2  11645  geo2sum  11660  efsep  11837  ef4p  11840  dveflem  14905  dvply1  14943  lgsquadlem2  15235