Theorem sumeq1i 11326

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	|- A = B

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	|- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 |- A = B
2		sumeq1 11318	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Syntax hints:   = wceq 1348   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-seqfrec 10402  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  sumeq12i  11328  fsump1i  11396  fsum2d  11398  fsumxp  11399  isumnn0nn  11456  arisum  11461  arisum2  11462  geo2sum  11477  efsep  11654  ef4p  11657  dveflem  13481