Theorem sumeq1i 11370

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	|- A = B

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	|- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 |- A = B
2		sumeq1 11362	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Syntax hints:   = wceq 1353   sum_csu 11360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-cnv 4634  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-recs 6305  df-frec 6391  df-seqfrec 10445  df-sumdc 11361

This theorem is referenced by:  sumeq12i  11372  fsump1i  11440  fsum2d  11442  fsumxp  11443  isumnn0nn  11500  arisum  11505  arisum2  11506  geo2sum  11521  efsep  11698  ef4p  11701  dveflem  14123