Theorem sumeq1i 12107

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	|- A = B

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	|- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 |- A = B
2		sumeq1 12099	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Syntax hints:   = wceq 1402   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-seqfrec 10863  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  sumeq12i  12109  fsump1i  12178  fsum2d  12180  fsumxp  12181  isumnn0nn  12238  arisum  12243  arisum2  12244  geo2sum  12259  efsep  12436  ef4p  12439  dveflem  15750  dvply1  15789  1sgmprm  16022  lgsquadlem2  16111