Theorem sumeq2i 11513

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 3-Dec-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2i.1	|- ( k e. A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
sumeq2i	|- sum_ k e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2 11508	. 2 |- ( A. k e. A B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
2		sumeq2i.1	. 2 |- ( k e. A -> B = C )
3	1, 2	mprg 2554	1 |- sum_ k e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   sum_csu 11502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-seqfrec 10525  df-sumdc 11503

This theorem is referenced by:  sumeq12i  11514  isumss2  11542  isumclim3  11572  fsumcnv  11586  fisum0diag2  11596  binom11  11635  trirecip  11650  0.999...  11670  geoihalfsum  11671  mertenslemi1  11684  mertenslem2  11685  esum  11811  eirraplem  11926  0sgm  15193  fsumdvdsmul  15199  1sgm2ppw  15203