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Description: Arithmetic series sum of
the first ![]() |
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arisum2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elnn0 9207 |
. 2
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2 | nnm1nn0 9246 |
. . . . . 6
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3 | nn0uz 9591 |
. . . . . 6
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4 | 2, 3 | eleqtrdi 2282 |
. . . . 5
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5 | elfznn0 10143 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | adantl 277 |
. . . . . 6
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7 | 6 | nn0cnd 9260 |
. . . . 5
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8 | id 19 |
. . . . 5
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9 | 4, 7, 8 | fsum1p 11457 |
. . . 4
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10 | 1e0p1 9454 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | oveq1i 5905 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | sumeq1i 11402 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | oveq2i 5906 |
. . . . . 6
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14 | 1zzd 9309 |
. . . . . . . . 9
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15 | 2 | nn0zd 9402 |
. . . . . . . . 9
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16 | 14, 15 | fzfigd 10461 |
. . . . . . . 8
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17 | elfznn 10083 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | nncnd 8962 |
. . . . . . . 8
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20 | 16, 19 | fsumcl 11439 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | addlidd 8136 |
. . . . . 6
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22 | 13, 21 | eqtr3id 2236 |
. . . . 5
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23 | arisum 11537 |
. . . . . . 7
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24 | 2, 23 | syl 14 |
. . . . . 6
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25 | nncn 8956 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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26 | 25 | 2timesd 9190 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 26 | oveq2d 5911 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 25 | sqcld 10682 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 28, 25, 25 | subsub4d 8328 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 27, 29 | eqtr4d 2225 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 30 | oveq1d 5910 |
. . . . . . . . . 10
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32 | binom2sub1 10665 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 25, 32 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 28, 25 | subcld 8297 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 1cnd 8002 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 34, 25, 35 | subsubd 8325 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 31, 33, 36 | 3eqtr4d 2232 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | oveq1d 5910 |
. . . . . . . 8
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39 | ax-1cn 7933 |
. . . . . . . . . 10
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40 | subcl 8185 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 25, 39, 40 | sylancl 413 |
. . . . . . . . 9
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42 | 34, 41 | npcand 8301 |
. . . . . . . 8
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43 | 38, 42 | eqtrd 2222 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | oveq1d 5910 |
. . . . . 6
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45 | 24, 44 | eqtrd 2222 |
. . . . 5
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46 | 22, 45 | eqtrd 2222 |
. . . 4
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47 | 9, 46 | eqtrd 2222 |
. . 3
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48 | oveq1 5902 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | oveq2d 5911 |
. . . . . . 7
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50 | 0re 7986 |
. . . . . . . . 9
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51 | ltm1 8832 |
. . . . . . . . 9
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52 | 50, 51 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
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53 | 0z 9293 |
. . . . . . . . 9
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54 | peano2zm 9320 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 53, 54 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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56 | fzn 10071 |
. . . . . . . . 9
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57 | 53, 55, 56 | mp2an 426 |
. . . . . . . 8
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58 | 52, 57 | mpbi 145 |
. . . . . . 7
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59 | 49, 58 | eqtrdi 2238 |
. . . . . 6
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60 | 59 | sumeq1d 11405 |
. . . . 5
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61 | sum0 11427 |
. . . . 5
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62 | 60, 61 | eqtrdi 2238 |
. . . 4
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63 | sq0i 10642 |
. . . . . . . 8
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64 | id 19 |
. . . . . . . 8
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65 | 63, 64 | oveq12d 5913 |
. . . . . . 7
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66 | 0m0e0 9060 |
. . . . . . 7
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67 | 65, 66 | eqtrdi 2238 |
. . . . . 6
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68 | 67 | oveq1d 5910 |
. . . . 5
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69 | 2cn 9019 |
. . . . . 6
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70 | 2ap0 9041 |
. . . . . 6
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71 | 69, 70 | div0api 8732 |
. . . . 5
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72 | 68, 71 | eqtrdi 2238 |
. . . 4
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73 | 62, 72 | eqtr4d 2225 |
. . 3
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74 | 47, 73 | jaoi 717 |
. 2
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75 | 1, 74 | sylbi 121 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958 ax-arch 7959 ax-caucvg 7960 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-irdg 6394 df-frec 6415 df-1o 6440 df-oadd 6444 df-er 6558 df-en 6766 df-dom 6767 df-fin 6768 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-2 9007 df-3 9008 df-4 9009 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-q 9649 df-rp 9683 df-fz 10038 df-fzo 10172 df-seqfrec 10476 df-exp 10550 df-fac 10737 df-bc 10759 df-ihash 10787 df-cj 10882 df-re 10883 df-im 10884 df-rsqrt 11038 df-abs 11039 df-clim 11318 df-sumdc 11393 |
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