ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumnn0nn Unicode version

Theorem isumnn0nn 11230
Description: Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumnn0nn.1  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
isumnn0nn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumnn0nn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
isumnn0nn.4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumnn0nn  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Distinct variable groups:    k, F    B, k    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9328 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 9034 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 isumnn0nn.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumnn0nn.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
5 isumnn0nn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
61, 2, 3, 4, 5isum1p 11229 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( ( F `
 0 )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A ) )
7 fveq2 5389 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
8 isumnn0nn.1 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  A  =  B )
97, 8eqeq12d 2132 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  =  A  <->  ( F `  0 )  =  B ) )
103ralrimiva 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( F `  k )  =  A )
11 0nn0 8960 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
1211a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
139, 10, 12rspcdva 2768 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  B )
14 0p1e1 8802 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1514fveq2i 5392 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
16 nnuz 9329 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16eqtr4i 2141 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )  =  NN
1817sumeq1i 11100 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A
1918a1i 9 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A  =  sum_ k  e.  NN  A )
2013, 19oveq12d 5760 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) A )  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
216, 20eqtrd 2150 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  A  =  ( B  +  sum_ k  e.  NN  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   dom cdm 4509   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZ>=cuz 9294    seqcseq 10186    ~~> cli 11015   sum_csu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator