Theorem fsump1i 11472

Description: Optimized version of fsump1 11459 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1i.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fsump1i.2	|- N = ( K + 1 )
fsump1i.3	|- ( k = N -> A = B )
fsump1i.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
fsump1i.5	|- ( ph -> ( K e. Z /\ sum_ k e. ( M ... K ) A = S ) )
fsump1i.6	|- ( ph -> ( S + B ) = T )

Assertion

Ref	Expression
fsump1i	|- ( ph -> ( N e. Z /\ sum_ k e. ( M ... N ) A = T ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, K   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   A( k)   S( k)   T( k)   Z( k)

Proof of Theorem fsump1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1i.2	. . 3 |- N = ( K + 1 )
2		fsump1i.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. Z /\ sum_ k e. ( M ... K ) A = S ) )
3	2	simpld 112	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Z )
4		fsump1i.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5	3, 4	eleqtrdi 2282	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
6		peano2uz 9612	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
7	6, 4	eleqtrrdi 2283	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. Z )
8	5, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. Z )
9	1, 8	eqeltrid 2276	. 2 |- ( ph -> N e. Z )
10	1	oveq2i 5906	. . . . 5 |- ( M ... N ) = ( M ... ( K + 1 ) )
11	10	sumeq1i 11402	. . . 4 |- sum_ k e. ( M ... N ) A = sum_ k e. ( M ... ( K + 1 ) ) A
12		elfzuz 10050	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... ( K + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12, 4	eleqtrrdi 2283	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( K + 1 ) ) -> k e. Z )
14		fsump1i.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
15	13, 14	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( K + 1 ) ) ) -> A e. CC )
16	1	eqeq2i 2200	. . . . . 6 |- ( k = N <-> k = ( K + 1 ) )
17		fsump1i.3	. . . . . 6 |- ( k = N -> A = B )
18	16, 17	sylbir 135	. . . . 5 |- ( k = ( K + 1 ) -> A = B )
19	5, 15, 18	fsump1 11459	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( K + 1 ) ) A = ( sum_ k e. ( M ... K ) A + B ) )
20	11, 19	eqtrid 2234	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = ( sum_ k e. ( M ... K ) A + B ) )
21	2	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... K ) A = S )
22	21	oveq1d 5910	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... K ) A + B ) = ( S + B ) )
23		fsump1i.6	. . 3 |- ( ph -> ( S + B ) = T )
24	20, 22, 23	3eqtrd 2226	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) A = T )
25	9, 24	jca 306	1 |- ( ph -> ( N e. Z /\ sum_ k e. ( M ... N ) A = T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   1c1 7841   + caddc 7843   ZZ>=cuz 9557   ...cfz 10037   sum_csu 11392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959  ax-caucvg 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-frec 6415  df-1o 6440  df-oadd 6444  df-er 6558  df-en 6766  df-dom 6767  df-fin 6768  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-q 9649  df-rp 9683  df-fz 10038  df-fzo 10172  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-ihash 10787  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884  df-rsqrt 11038  df-abs 11039  df-clim 11318  df-sumdc 11393

This theorem is referenced by: (None)