ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsump1i Unicode version

Theorem fsump1i 11195
Description: Optimized version of fsump1 11182 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fsump1i.2  |-  N  =  ( K  +  1 )
fsump1i.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
fsump1i.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
fsump1i.5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
fsump1i.6  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
Assertion
Ref Expression
fsump1i  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, K    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    S( k)    T( k)    Z( k)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3  |-  N  =  ( K  +  1 )
2 fsump1i.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
32simpld 111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Z )
4 fsump1i.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4eleqtrdi 2230 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 peano2uz 9371 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
76, 4eleqtrrdi 2231 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
85, 7syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
91, 8eqeltrid 2224 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
101oveq2i 5778 . . . . 5  |-  ( M ... N )  =  ( M ... ( K  +  1 ) )
1110sumeq1i 11125 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A
12 elfzuz 9795 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312, 4eleqtrrdi 2231 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  Z )
14 fsump1i.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
1513, 14sylan2 284 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
161eqeq2i 2148 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  <->  k  =  ( K  +  1
) )
17 fsump1i.3 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
1816, 17sylbir 134 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  + 
1 )  ->  A  =  B )
195, 15, 18fsump1 11182 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
2011, 19syl5eq 2182 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
212simprd 113 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S )
2221oveq1d 5782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B )  =  ( S  +  B ) )
23 fsump1i.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
2420, 22, 233eqtrd 2174 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T )
259, 24jca 304 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   1c1 7614    + caddc 7616   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783   sum_csu 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator