Theorem geo2sum 11991

Description: The value of the finite geometric series 2 ^ -u 1 + 2 ^ -u 2 +... + 2 ^ -u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	|- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9441	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9433	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. ZZ )
4		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
5		2nn 9240	. . . . . 6 |- 2 e. NN
6		elfznn 10218	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN )
8	7	nnnn0d 9390	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
9		nnexpcl 10741	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
11	10	nncnd 9092	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
12	10	nnap0d 9124	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
13	4, 11, 12	divclapd 8905	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) e. CC )
14		oveq2 5982	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5990	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 11922	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
17		1m1e0 9147	. . . . 5 |- ( 1 - 1 ) = 0
18	17	oveq1i 5984	. . . 4 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
19	18	sumeq1i 11840	. . 3 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
20		halfcn 9293	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
21		elfznn0 10278	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
23		expcl 10746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
24	20, 22, 23	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
25		2cnd 9151	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. CC )
26		2ap0 9171	. . . . . . . . . 10 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 # 0 )
28	24, 25, 27	divrecapd 8908	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
29		expp1 10735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
30	20, 22, 29	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
31		elfzelz 10189	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. ZZ )
32	31	peano2zd 9540	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
34	25, 27, 33	exprecapd 10870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2249	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) )
36	35	oveq2d 5990	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
37		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
38		peano2nn0 9377	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
40		nnexpcl 10741	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
41	5, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
42	41	nncnd 9092	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
43	41	nnap0d 9124	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) # 0 )
44	37, 42, 43	divrecapd 8908	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
45	24, 37, 25, 27	div12apd 8942	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2252	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
47	46	sumeq2dv 11845	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
48		0zd 9426	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 0 e. ZZ )
49	3, 1	zsubcld 9542	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
50	48, 49	fzfigd 10620	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
51		halfcl 9305	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
52	51	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) e. CC )
53	50, 52, 24	fsummulc1 11926	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
54	47, 53	eqtr4d 2245	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
55	19, 54	eqtrid 2254	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
56		2cnd 9151	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 # 0 )
58	56, 57, 3	exprecapd 10870	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ N ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
59	58	oveq2d 5990	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
60		1mhlfehlf 9297	. . . . . . 7 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
61	60	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
62	59, 61	oveq12d 5992	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) )
63		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A e. CC )
64	63, 56, 57	divrecap2d 8909	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. A ) )
65	62, 64	oveq12d 5992	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
66		ax-1cn 8060	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
67		nnnn0 9344	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. NN0 )
69		nnexpcl 10741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
70	5, 68, 69	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
71	70	nnrecred 9125	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
72	71	recnd 8143	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
73		subcl 8313	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
74	66, 72, 73	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
75	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
76	56, 57	recap0d 8897	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 0 )
77	74, 75, 76	divclapd 8905	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) e. CC )
78	77, 75, 63	mulassd 8138	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
79	74, 75, 76	divcanap1d 8906	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
80	79	oveq1d 5989	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2248	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
82		halfre 9292	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
83		1re 8113	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
84		halflt1 9296	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8750	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 1 )
87	75, 86, 68	geoserap 11984	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) = ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
88	87	oveq1d 5989	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) )
89		mullid 8112	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
90	89	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 x. A ) = A )
91	90	eqcomd 2215	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A = ( 1 x. A ) )
92	70	nncnd 9092	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
93	70	nnap0d 9124	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) # 0 )
94	63, 92, 93	divrecap2d 8909	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / ( 2 ^ N ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) )
95	91, 94	oveq12d 5992	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
96	66	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. CC )
97	96, 72, 63	subdird 8529	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
98	95, 97	eqtr4d 2245	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2252	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )
100	16, 55, 99	3eqtrd 2246	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974   CCcc 7965   0cc0 7967   1c1 7968   + caddc 7970   x. cmul 7972   - cmin 8285   # cap 8696   / cdiv 8787   NNcn 9078   2c2 9129   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   ...cfz 10172   ^cexp 10727   sum_csu 11830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831

This theorem is referenced by:  geo2lim  11993  trilpolemlt1  16320