Theorem geo2sum 12283

Description: The value of the finite geometric series 2 ^ -u 1 + 2 ^ -u 2 +... + 2 ^ -u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	|- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9673	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9665	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. ZZ )
4		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
5		2nn 9468	. . . . . 6 |- 2 e. NN
6		elfznn 10462	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN )
8	7	nnnn0d 9622	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
9		nnexpcl 10991	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
10	5, 8, 9	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
11	10	nncnd 9319	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
12	10	nnap0d 9351	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
13	4, 11, 12	divclapd 9121	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) e. CC )
14		oveq2 6093	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 6101	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 12214	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
17		1m1e0 9374	. . . . 5 |- ( 1 - 1 ) = 0
18	17	oveq1i 6095	. . . 4 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
19	18	sumeq1i 12131	. . 3 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
20		halfcn 9521	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
21		elfznn0 10523	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
23		expcl 10996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
24	20, 22, 23	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
25		2cnd 9378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. CC )
26		2ap0 9398	. . . . . . . . . 10 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 # 0 )
28	24, 25, 27	divrecapd 9124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
29		expp1 10985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
30	20, 22, 29	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
31		elfzelz 10430	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. ZZ )
32	31	peano2zd 9773	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
34	25, 27, 33	exprecapd 11121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2278	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) )
36	35	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
37		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
38		peano2nn0 9605	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
40		nnexpcl 10991	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
41	5, 39, 40	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
42	41	nncnd 9319	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
43	41	nnap0d 9351	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) # 0 )
44	37, 42, 43	divrecapd 9124	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
45	24, 37, 25, 27	div12apd 9158	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
47	46	sumeq2dv 12136	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
48		0zd 9658	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 0 e. ZZ )
49	3, 1	zsubcld 9775	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
50	48, 49	fzfigd 10870	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
51		halfcl 9533	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
52	51	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) e. CC )
53	50, 52, 24	fsummulc1 12218	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
54	47, 53	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
55	19, 54	eqtrid 2283	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
56		2cnd 9378	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 # 0 )
58	56, 57, 3	exprecapd 11121	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ N ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
59	58	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
60		1mhlfehlf 9525	. . . . . . 7 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
61	60	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
62	59, 61	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) )
63		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A e. CC )
64	63, 56, 57	divrecap2d 9125	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. A ) )
65	62, 64	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
66		ax-1cn 8272	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
67		nnnn0 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. NN0 )
69		nnexpcl 10991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
70	5, 68, 69	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
71	70	nnrecred 9352	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
72	71	recnd 8354	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
73		subcl 8525	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
74	66, 72, 73	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
75	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
76	56, 57	recap0d 9113	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 0 )
77	74, 75, 76	divclapd 9121	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) e. CC )
78	77, 75, 63	mulassd 8349	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
79	74, 75, 76	divcanap1d 9122	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
80	79	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
82		halfre 9520	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
83		1re 8325	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
84		halflt1 9524	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8964	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 1 )
87	75, 86, 68	geoserap 12276	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) = ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
88	87	oveq1d 6100	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) )
89		mullid 8324	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
90	89	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 x. A ) = A )
91	90	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A = ( 1 x. A ) )
92	70	nncnd 9319	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
93	70	nnap0d 9351	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) # 0 )
94	63, 92, 93	divrecap2d 9125	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / ( 2 ^ N ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) )
95	91, 94	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
96	66	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. CC )
97	96, 72, 63	subdird 8742	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
98	95, 97	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2281	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )
100	16, 55, 99	3eqtrd 2275	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   # cap 8910   / cdiv 9003   NNcn 9305   2c2 9356   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   ...cfz 10413   ^cexp 10977   sum_csu 12121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

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