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Description: The value of the finite
geometric series ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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geo2sum |
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1 | 1zzd 9279 |
. . 3
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2 | nnz 9271 |
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3 | 2 | adantr 276 |
. . 3
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4 | simplr 528 |
. . . 4
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5 | 2nn 9079 |
. . . . . 6
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6 | elfznn 10053 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | nnnn0d 9228 |
. . . . . 6
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9 | nnexpcl 10532 |
. . . . . 6
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10 | 5, 8, 9 | sylancr 414 |
. . . . 5
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11 | 10 | nncnd 8932 |
. . . 4
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12 | 10 | nnap0d 8964 |
. . . 4
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13 | 4, 11, 12 | divclapd 8746 |
. . 3
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14 | oveq2 5882 |
. . . 4
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15 | 14 | oveq2d 5890 |
. . 3
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16 | 1, 1, 3, 13, 15 | fsumshftm 11452 |
. 2
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17 | 1m1e0 8987 |
. . . . 5
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18 | 17 | oveq1i 5884 |
. . . 4
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19 | 18 | sumeq1i 11370 |
. . 3
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20 | halfcn 9132 |
. . . . . . . . . 10
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21 | elfznn0 10113 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 21 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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23 | expcl 10537 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 20, 22, 23 | sylancr 414 |
. . . . . . . . 9
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25 | 2cnd 8991 |
. . . . . . . . 9
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26 | 2ap0 9011 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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28 | 24, 25, 27 | divrecapd 8749 |
. . . . . . . 8
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29 | expp1 10526 |
. . . . . . . . 9
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30 | 20, 22, 29 | sylancr 414 |
. . . . . . . 8
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31 | elfzelz 10024 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | peano2zd 9377 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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34 | 25, 27, 33 | exprecapd 10661 |
. . . . . . . 8
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35 | 28, 30, 34 | 3eqtr2rd 2217 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | oveq2d 5890 |
. . . . . 6
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37 | simplr 528 |
. . . . . . 7
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38 | peano2nn0 9215 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 22, 38 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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40 | nnexpcl 10532 |
. . . . . . . . 9
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41 | 5, 39, 40 | sylancr 414 |
. . . . . . . 8
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42 | 41 | nncnd 8932 |
. . . . . . 7
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43 | 41 | nnap0d 8964 |
. . . . . . 7
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44 | 37, 42, 43 | divrecapd 8749 |
. . . . . 6
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45 | 24, 37, 25, 27 | div12apd 8783 |
. . . . . 6
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46 | 36, 44, 45 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . 5
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47 | 46 | sumeq2dv 11375 |
. . . 4
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48 | 0zd 9264 |
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49 | 3, 1 | zsubcld 9379 |
. . . . . 6
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50 | 48, 49 | fzfigd 10430 |
. . . . 5
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51 | halfcl 9144 |
. . . . . 6
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52 | 51 | adantl 277 |
. . . . 5
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53 | 50, 52, 24 | fsummulc1 11456 |
. . . 4
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54 | 47, 53 | eqtr4d 2213 |
. . 3
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55 | 19, 54 | eqtrid 2222 |
. 2
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56 | 2cnd 8991 |
. . . . . . . 8
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57 | 26 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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58 | 56, 57, 3 | exprecapd 10661 |
. . . . . . 7
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59 | 58 | oveq2d 5890 |
. . . . . 6
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60 | 1mhlfehlf 9136 |
. . . . . . 7
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61 | 60 | a1i 9 |
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62 | 59, 61 | oveq12d 5892 |
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63 | simpr 110 |
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64 | 63, 56, 57 | divrecap2d 8750 |
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65 | 62, 64 | oveq12d 5892 |
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66 | ax-1cn 7903 |
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67 | nnnn0 9182 |
. . . . . . . . . . 11
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68 | 67 | adantr 276 |
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69 | nnexpcl 10532 |
. . . . . . . . . 10
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70 | 5, 68, 69 | sylancr 414 |
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71 | 70 | nnrecred 8965 |
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72 | 71 | recnd 7985 |
. . . . . . 7
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73 | subcl 8155 |
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74 | 66, 72, 73 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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75 | 20 | a1i 9 |
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76 | 56, 57 | recap0d 8738 |
. . . . . 6
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77 | 74, 75, 76 | divclapd 8746 |
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78 | 77, 75, 63 | mulassd 7980 |
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79 | 74, 75, 76 | divcanap1d 8747 |
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80 | 79 | oveq1d 5889 |
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81 | 65, 78, 80 | 3eqtr2d 2216 |
. . 3
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82 | halfre 9131 |
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83 | 1re 7955 |
. . . . . . 7
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84 | halflt1 9135 |
. . . . . . 7
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85 | 82, 83, 84 | ltapii 8591 |
. . . . . 6
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86 | 85 | a1i 9 |
. . . . 5
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87 | 75, 86, 68 | geoserap 11514 |
. . . 4
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88 | 87 | oveq1d 5889 |
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89 | mullid 7954 |
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90 | 89 | adantl 277 |
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91 | 90 | eqcomd 2183 |
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92 | 70 | nncnd 8932 |
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93 | 70 | nnap0d 8964 |
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94 | 63, 92, 93 | divrecap2d 8750 |
. . . . 5
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95 | 91, 94 | oveq12d 5892 |
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96 | 66 | a1i 9 |
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97 | 96, 72, 63 | subdird 8371 |
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98 | 95, 97 | eqtr4d 2213 |
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99 | 81, 88, 98 | 3eqtr4d 2220 |
. 2
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100 | 16, 55, 99 | 3eqtrd 2214 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-frec 6391 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-er 6534 df-en 6740 df-dom 6741 df-fin 6742 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-2 8977 df-3 8978 df-4 8979 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-q 9619 df-rp 9653 df-fz 10008 df-fzo 10142 df-seqfrec 10445 df-exp 10519 df-ihash 10755 df-cj 10850 df-re 10851 df-im 10852 df-rsqrt 11006 df-abs 11007 df-clim 11286 df-sumdc 11361 |
This theorem is referenced by: geo2lim 11523 trilpolemlt1 14759 |
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