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Theorem geo2sum 10895
Description: The value of the finite geometric series  2 ^ -u 1  +  2 ^ -u 2  +...  +  2 ^
-u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 8767 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
2 nnz 8759 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantr 270 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
4 simplr 497 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
5 2nn 8567 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
6 elfznn 9458 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
76adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
87nnnn0d 8716 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
9 nnexpcl 9956 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
105, 8, 9sylancr 405 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
1110nncnd 8426 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
1210nnap0d 8458 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 2 ^ k ) #  0 )
134, 11, 12divclapd 8247 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
14 oveq2 5652 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1514oveq2d 5660 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 10826 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
17 1m1e0 8481 . . . . 5  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1817oveq1i 5654 . . . 4  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
1918sumeq1i 10739 . . 3  |-  sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  / 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
20 halfcn 8620 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
21 elfznn0 9516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
2221adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
23 expcl 9961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
2420, 22, 23sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ j )  e.  CC )
25 2cnd 8485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2  e.  CC )
26 2ap0 8505 . . . . . . . . . 10  |-  2 #  0
2726a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  2 #  0
)
2824, 25, 27divrecapd 8250 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  /  2 )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
29 expp1 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
3020, 22, 29sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  (
1  /  2 ) ) )
31 elfzelz 9430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
3231peano2zd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
3332adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
3425, 27, 33exprecapd 10082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  /  2 ) ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
3528, 30, 343eqtr2rd 2127 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  /  2
) )
3635oveq2d 5660 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ j )  /  2 ) ) )
37 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
38 peano2nn0 8703 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
3922, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
40 nnexpcl 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
415, 39, 40sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4241nncnd 8426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4341nnap0d 8458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) #  0 )
4437, 42, 43divrecapd 8250 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( A  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
4524, 37, 25, 27div12apd 8284 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) )  =  ( A  x.  (
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  /  2 ) ) )
4636, 44, 453eqtr4d 2130 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
4746sumeq2dv 10744 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^ j )  x.  ( A  /  2
) ) )
48 0zd 8752 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  0  e.  ZZ )
493, 1zsubcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5048, 49fzfigd 9826 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
51 halfcl 8632 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
5251adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  e.  CC )
5350, 52, 24fsummulc1 10830 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( 1  /  2 ) ^
j )  x.  ( A  /  2 ) ) )
5447, 53eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
5519, 54syl5eq 2132 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  /  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ j )  x.  ( A  / 
2 ) ) )
56 2cnd 8485 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
5726a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  2 #  0 )
5856, 57, 3exprecapd 10082 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
)  =  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )
5958oveq2d 5660 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
( 1  /  2
) ^ N ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
60 1mhlfehlf 8624 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
6160a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
6259, 61oveq12d 5662 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ N
) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
63 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
6463, 56, 57divrecap2d 8251 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) )
6562, 64oveq12d 5662 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 )  x.  A
) ) )
66 ax-1cn 7428 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
67 nnnn0 8670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
6867adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  N  e.  NN0 )
69 nnexpcl 9956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
705, 68, 69sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
7170nnrecred 8459 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
7271recnd 7506 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
73 subcl 7671 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7466, 72, 73sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  e.  CC )
7520a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
7656, 57recap0d 8239 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
) #  0 )
7774, 75, 76divclapd 8247 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  /  (
1  /  2 ) )  e.  CC )
7877, 75, 63mulassd 7501 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( ( 1  -  (
1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  /  2 ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  x.  A ) ) )
7974, 75, 76divcanap1d 8248 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  / 
( 1  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
8079oveq1d 5659 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  /  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  x.  A
)  =  ( ( 1  -  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )  x.  A ) )
8165, 78, 803eqtr2d 2126 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) )  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
82 halfre 8619 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
83 1re 7477 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
84 halflt1 8623 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
8582, 83, 84ltapii 8100 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 ) #  1
8685a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  /  2
) #  1 )
8775, 86, 68geoserap 10888 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  =  ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) ) )
8887oveq1d 5659 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( 1  /  2 ) ^ N ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  x.  ( A  /  2
) ) )
89 mulid2 7476 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
9089adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
9190eqcomd 2093 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( 1  x.  A ) )
9270nncnd 8426 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  CC )
9370nnap0d 8458 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2 ^ N
) #  0 )
9463, 92, 93divrecap2d 8251 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  /  (
2 ^ N ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) )
9591, 94oveq12d 5662 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  x.  A
) ) )
9666a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
9796, 72, 63subdird 7883 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  /  (
2 ^ N ) ) )  x.  A
)  =  ( ( 1  x.  A )  -  ( ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  x.  A ) ) )
9895, 97eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  /  ( 2 ^ N ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )  x.  A ) )
9981, 88, 983eqtr4d 2130 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  x.  ( A  /  2 ) )  =  ( A  -  ( A  /  (
2 ^ N ) ) ) )
10016, 55, 993eqtrd 2124 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( A  /  (
2 ^ k ) )  =  ( A  -  ( A  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   CCcc 7338   0cc0 7340   1c1 7341    + caddc 7343    x. cmul 7345    - cmin 7643   # cap 8048    / cdiv 8129   NNcn 8412   2c2 8463   NN0cn0 8663   ZZcz 8740   ...cfz 9414   ^cexp 9942   sum_csu 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-isom 5019  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-frec 6148  df-1o 6173  df-oadd 6177  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-q 9095  df-rp 9125  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-ihash 10172  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-clim 10654  df-isum 10730
This theorem is referenced by:  geo2lim  10897
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