Theorem geo2sum 10895

Description: The value of the finite geometric series 2 ^ -u 1 + 2 ^ -u 2 +... + 2 ^ -u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	|- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 8767	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. ZZ )
2		nnz 8759	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantr 270	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. ZZ )
4		simplr 497	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
5		2nn 8567	. . . . . 6 |- 2 e. NN
6		elfznn 9458	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
7	6	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN )
8	7	nnnn0d 8716	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
9		nnexpcl 9956	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
10	5, 8, 9	sylancr 405	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
11	10	nncnd 8426	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
12	10	nnap0d 8458	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
13	4, 11, 12	divclapd 8247	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) e. CC )
14		oveq2 5652	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5660	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 10826	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
17		1m1e0 8481	. . . . 5 |- ( 1 - 1 ) = 0
18	17	oveq1i 5654	. . . 4 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
19	18	sumeq1i 10739	. . 3 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
20		halfcn 8620	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
21		elfznn0 9516	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
22	21	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
23		expcl 9961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
24	20, 22, 23	sylancr 405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
25		2cnd 8485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. CC )
26		2ap0 8505	. . . . . . . . . 10 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 # 0 )
28	24, 25, 27	divrecapd 8250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
29		expp1 9950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
30	20, 22, 29	sylancr 405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
31		elfzelz 9430	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. ZZ )
32	31	peano2zd 8861	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
33	32	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
34	25, 27, 33	exprecapd 10082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2127	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) )
36	35	oveq2d 5660	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
37		simplr 497	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
38		peano2nn0 8703	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
40		nnexpcl 9956	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
41	5, 39, 40	sylancr 405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
42	41	nncnd 8426	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
43	41	nnap0d 8458	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) # 0 )
44	37, 42, 43	divrecapd 8250	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
45	24, 37, 25, 27	div12apd 8284	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2130	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
47	46	sumeq2dv 10744	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
48		0zd 8752	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 0 e. ZZ )
49	3, 1	zsubcld 8863	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
50	48, 49	fzfigd 9826	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
51		halfcl 8632	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
52	51	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) e. CC )
53	50, 52, 24	fsummulc1 10830	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
54	47, 53	eqtr4d 2123	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
55	19, 54	syl5eq 2132	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
56		2cnd 8485	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 # 0 )
58	56, 57, 3	exprecapd 10082	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ N ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
59	58	oveq2d 5660	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
60		1mhlfehlf 8624	. . . . . . 7 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
61	60	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
62	59, 61	oveq12d 5662	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) )
63		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A e. CC )
64	63, 56, 57	divrecap2d 8251	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. A ) )
65	62, 64	oveq12d 5662	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
66		ax-1cn 7428	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
67		nnnn0 8670	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
68	67	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. NN0 )
69		nnexpcl 9956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
70	5, 68, 69	sylancr 405	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
71	70	nnrecred 8459	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
72	71	recnd 7506	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
73		subcl 7671	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
74	66, 72, 73	sylancr 405	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
75	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
76	56, 57	recap0d 8239	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 0 )
77	74, 75, 76	divclapd 8247	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) e. CC )
78	77, 75, 63	mulassd 7501	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
79	74, 75, 76	divcanap1d 8248	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
80	79	oveq1d 5659	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2126	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
82		halfre 8619	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
83		1re 7477	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
84		halflt1 8623	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8100	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 1 )
87	75, 86, 68	geoserap 10888	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) = ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
88	87	oveq1d 5659	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) )
89		mulid2 7476	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
90	89	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 x. A ) = A )
91	90	eqcomd 2093	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A = ( 1 x. A ) )
92	70	nncnd 8426	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
93	70	nnap0d 8458	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) # 0 )
94	63, 92, 93	divrecap2d 8251	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / ( 2 ^ N ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) )
95	91, 94	oveq12d 5662	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
96	66	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. CC )
97	96, 72, 63	subdird 7883	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
98	95, 97	eqtr4d 2123	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2130	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )
100	16, 55, 99	3eqtrd 2124	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   CCcc 7338   0cc0 7340   1c1 7341   + caddc 7343   x. cmul 7345   - cmin 7643   # cap 8048   / cdiv 8129   NNcn 8412   2c2 8463   NN0cn0 8663   ZZcz 8740   ...cfz 9414   ^cexp 9942   sum_csu 10729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-isom 5019  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-frec 6148  df-1o 6173  df-oadd 6177  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-q 9095  df-rp 9125  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-ihash 10172  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-clim 10654  df-isum 10730

This theorem is referenced by:  geo2lim  10897