Theorem geo2sum 12208

Description: The value of the finite geometric series 2 ^ -u 1 + 2 ^ -u 2 +... + 2 ^ -u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	|- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9609	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9601	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. ZZ )
4		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
5		2nn 9404	. . . . . 6 |- 2 e. NN
6		elfznn 10394	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN )
8	7	nnnn0d 9558	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
9		nnexpcl 10921	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
11	10	nncnd 9256	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
12	10	nnap0d 9288	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
13	4, 11, 12	divclapd 9069	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) e. CC )
14		oveq2 6060	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 6068	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 12139	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
17		1m1e0 9311	. . . . 5 |- ( 1 - 1 ) = 0
18	17	oveq1i 6062	. . . 4 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
19	18	sumeq1i 12056	. . 3 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
20		halfcn 9457	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
21		elfznn0 10455	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
23		expcl 10926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
24	20, 22, 23	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
25		2cnd 9315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. CC )
26		2ap0 9335	. . . . . . . . . 10 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 # 0 )
28	24, 25, 27	divrecapd 9072	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
29		expp1 10915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
30	20, 22, 29	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
31		elfzelz 10365	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. ZZ )
32	31	peano2zd 9709	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
34	25, 27, 33	exprecapd 11051	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) )
36	35	oveq2d 6068	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
37		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
38		peano2nn0 9541	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
40		nnexpcl 10921	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
41	5, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
42	41	nncnd 9256	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
43	41	nnap0d 9288	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) # 0 )
44	37, 42, 43	divrecapd 9072	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
45	24, 37, 25, 27	div12apd 9106	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2277	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
47	46	sumeq2dv 12061	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
48		0zd 9594	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 0 e. ZZ )
49	3, 1	zsubcld 9711	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
50	48, 49	fzfigd 10800	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
51		halfcl 9469	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
52	51	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) e. CC )
53	50, 52, 24	fsummulc1 12143	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
54	47, 53	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
55	19, 54	eqtrid 2279	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
56		2cnd 9315	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 # 0 )
58	56, 57, 3	exprecapd 11051	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ N ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
59	58	oveq2d 6068	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
60		1mhlfehlf 9461	. . . . . . 7 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
61	60	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
62	59, 61	oveq12d 6070	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) )
63		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A e. CC )
64	63, 56, 57	divrecap2d 9073	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. A ) )
65	62, 64	oveq12d 6070	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
66		ax-1cn 8225	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
67		nnnn0 9508	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. NN0 )
69		nnexpcl 10921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
70	5, 68, 69	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
71	70	nnrecred 9289	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
72	71	recnd 8307	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
73		subcl 8477	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
74	66, 72, 73	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
75	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
76	56, 57	recap0d 9061	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 0 )
77	74, 75, 76	divclapd 9069	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) e. CC )
78	77, 75, 63	mulassd 8302	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
79	74, 75, 76	divcanap1d 9070	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
80	79	oveq1d 6067	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2273	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
82		halfre 9456	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
83		1re 8278	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
84		halflt1 9460	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8914	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 1 )
87	75, 86, 68	geoserap 12201	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) = ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
88	87	oveq1d 6067	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) )
89		mullid 8277	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
90	89	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 x. A ) = A )
91	90	eqcomd 2240	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A = ( 1 x. A ) )
92	70	nncnd 9256	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
93	70	nnap0d 9288	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) # 0 )
94	63, 92, 93	divrecap2d 9073	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / ( 2 ^ N ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) )
95	91, 94	oveq12d 6070	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
96	66	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. CC )
97	96, 72, 63	subdird 8693	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
98	95, 97	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2277	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )
100	16, 55, 99	3eqtrd 2271	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   CCcc 8130   0cc0 8132   1c1 8133   + caddc 8135   x. cmul 8137   - cmin 8449   # cap 8860   / cdiv 8951   NNcn 9242   2c2 9293   NN0cn0 9501   ZZcz 9582   ...cfz 10348   ^cexp 10907   sum_csu 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-ihash 11147  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047

This theorem is referenced by:  geo2lim  12210  trilpolemlt1  16874