Theorem geo2sum 12033

Description: The value of the finite geometric series 2 ^ -u 1 + 2 ^ -u 2 +... + 2 ^ -u N, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum	|- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem geo2sum

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9481	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. ZZ )
2		nnz 9473	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. ZZ )
4		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> A e. CC )
5		2nn 9280	. . . . . 6 |- 2 e. NN
6		elfznn 10258	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN )
8	7	nnnn0d 9430	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
9		nnexpcl 10782	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
11	10	nncnd 9132	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
12	10	nnap0d 9164	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
13	4, 11, 12	divclapd 8945	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) e. CC )
14		oveq2 6015	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
15	14	oveq2d 6023	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
16	1, 1, 3, 13, 15	fsumshftm 11964	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
17		1m1e0 9187	. . . . 5 |- ( 1 - 1 ) = 0
18	17	oveq1i 6017	. . . 4 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
19	18	sumeq1i 11882	. . 3 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
20		halfcn 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
21		elfznn0 10318	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
23		expcl 10787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
24	20, 22, 23	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ j ) e. CC )
25		2cnd 9191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 e. CC )
26		2ap0 9211	. . . . . . . . . 10 |- 2 # 0
27	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 2 # 0 )
28	24, 25, 27	divrecapd 8948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
29		expp1 10776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
30	20, 22, 29	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( 1 / 2 ) ) )
31		elfzelz 10229	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. ZZ )
32	31	peano2zd 9580	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
34	25, 27, 33	exprecapd 10911	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( j + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
35	28, 30, 34	3eqtr2rd 2269	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) )
36	35	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
37		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
38		peano2nn0 9417	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
39	22, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
40		nnexpcl 10782	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
41	5, 39, 40	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
42	41	nncnd 9132	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
43	41	nnap0d 9164	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) # 0 )
44	37, 42, 43	divrecapd 8948	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( A x. ( 1 / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
45	24, 37, 25, 27	div12apd 8982	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) / 2 ) ) )
46	36, 44, 45	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
47	46	sumeq2dv 11887	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
48		0zd 9466	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 0 e. ZZ )
49	3, 1	zsubcld 9582	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
50	48, 49	fzfigd 10661	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
51		halfcl 9345	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A / 2 ) e. CC )
52	51	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) e. CC )
53	50, 52, 24	fsummulc1 11968	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
54	47, 53	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
55	19, 54	eqtrid 2274	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( A / ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) )
56		2cnd 9191	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 e. CC )
57	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 2 # 0 )
58	56, 57, 3	exprecapd 10911	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ N ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
59	58	oveq2d 6023	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
60		1mhlfehlf 9337	. . . . . . 7 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
61	60	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
62	59, 61	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) )
63		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A e. CC )
64	63, 56, 57	divrecap2d 8949	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. A ) )
65	62, 64	oveq12d 6025	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
66		ax-1cn 8100	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
67		nnnn0 9384	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> N e. NN0 )
69		nnexpcl 10782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
70	5, 68, 69	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
71	70	nnrecred 9165	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
72	71	recnd 8183	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
73		subcl 8353	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
74	66, 72, 73	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) e. CC )
75	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
76	56, 57	recap0d 8937	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 0 )
77	74, 75, 76	divclapd 8945	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) e. CC )
78	77, 75, 63	mulassd 8178	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) x. A ) ) )
79	74, 75, 76	divcanap1d 8946	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) )
80	79	oveq1d 6022	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
81	65, 78, 80	3eqtr2d 2268	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
82		halfre 9332	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
83		1re 8153	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
84		halflt1 9336	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
85	82, 83, 84	ltapii 8790	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
86	85	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 / 2 ) # 1 )
87	75, 86, 68	geoserap 12026	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) = ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
88	87	oveq1d 6022	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( ( ( 1 - ( ( 1 / 2 ) ^ N ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) x. ( A / 2 ) ) )
89		mullid 8152	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )
90	89	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 1 x. A ) = A )
91	90	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> A = ( 1 x. A ) )
92	70	nncnd 9132	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
93	70	nnap0d 9164	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( 2 ^ N ) # 0 )
94	63, 92, 93	divrecap2d 8949	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A / ( 2 ^ N ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) )
95	91, 94	oveq12d 6025	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
96	66	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> 1 e. CC )
97	96, 72, 63	subdird 8569	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) = ( ( 1 x. A ) - ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) x. A ) ) )
98	95, 97	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / ( 2 ^ N ) ) ) x. A ) )
99	81, 88, 98	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ j ) x. ( A / 2 ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )
100	16, 55, 99	3eqtrd 2266	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( A / ( 2 ^ k ) ) = ( A - ( A / ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8005   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   x. cmul 8012   - cmin 8325   # cap 8736   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   ...cfz 10212   ^cexp 10768   sum_csu 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873

This theorem is referenced by:  geo2lim  12035  trilpolemlt1  16439