Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geo2sum Unicode version

Theorem geo2sum 11404
 Description: The value of the finite geometric series ... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem geo2sum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9188 . . 3
2 nnz 9180 . . . 4
32adantr 274 . . 3
4 simplr 520 . . . 4
5 2nn 8988 . . . . . 6
6 elfznn 9949 . . . . . . . 8
76adantl 275 . . . . . . 7
87nnnn0d 9137 . . . . . 6
9 nnexpcl 10425 . . . . . 6
105, 8, 9sylancr 411 . . . . 5
1110nncnd 8841 . . . 4
1210nnap0d 8873 . . . 4 #
134, 11, 12divclapd 8657 . . 3
14 oveq2 5829 . . . 4
1514oveq2d 5837 . . 3
161, 1, 3, 13, 15fsumshftm 11335 . 2
17 1m1e0 8896 . . . . 5
1817oveq1i 5831 . . . 4
1918sumeq1i 11253 . . 3
20 halfcn 9041 . . . . . . . . . 10
21 elfznn0 10009 . . . . . . . . . . 11
2221adantl 275 . . . . . . . . . 10
23 expcl 10430 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23sylancr 411 . . . . . . . . 9
25 2cnd 8900 . . . . . . . . 9
26 2ap0 8920 . . . . . . . . . 10 #
2726a1i 9 . . . . . . . . 9 #
2824, 25, 27divrecapd 8660 . . . . . . . 8
29 expp1 10419 . . . . . . . . 9
3020, 22, 29sylancr 411 . . . . . . . 8
31 elfzelz 9921 . . . . . . . . . . 11
3231peano2zd 9283 . . . . . . . . . 10
3332adantl 275 . . . . . . . . 9
3425, 27, 33exprecapd 10552 . . . . . . . 8
3528, 30, 343eqtr2rd 2197 . . . . . . 7
3635oveq2d 5837 . . . . . 6
37 simplr 520 . . . . . . 7
38 peano2nn0 9124 . . . . . . . . . 10
3922, 38syl 14 . . . . . . . . 9
40 nnexpcl 10425 . . . . . . . . 9
415, 39, 40sylancr 411 . . . . . . . 8
4241nncnd 8841 . . . . . . 7
4341nnap0d 8873 . . . . . . 7 #
4437, 42, 43divrecapd 8660 . . . . . 6
4524, 37, 25, 27div12apd 8694 . . . . . 6
4636, 44, 453eqtr4d 2200 . . . . 5
4746sumeq2dv 11258 . . . 4
48 0zd 9173 . . . . . 6
493, 1zsubcld 9285 . . . . . 6
5048, 49fzfigd 10323 . . . . 5
51 halfcl 9053 . . . . . 6
5251adantl 275 . . . . 5
5350, 52, 24fsummulc1 11339 . . . 4
5447, 53eqtr4d 2193 . . 3
5519, 54syl5eq 2202 . 2
56 2cnd 8900 . . . . . . . 8
5726a1i 9 . . . . . . . 8 #
5856, 57, 3exprecapd 10552 . . . . . . 7
5958oveq2d 5837 . . . . . 6
60 1mhlfehlf 9045 . . . . . . 7
6160a1i 9 . . . . . 6
6259, 61oveq12d 5839 . . . . 5
63 simpr 109 . . . . . 6
6463, 56, 57divrecap2d 8661 . . . . 5
6562, 64oveq12d 5839 . . . 4
66 ax-1cn 7819 . . . . . . 7
67 nnnn0 9091 . . . . . . . . . . 11
6867adantr 274 . . . . . . . . . 10
69 nnexpcl 10425 . . . . . . . . . 10
705, 68, 69sylancr 411 . . . . . . . . 9
7170nnrecred 8874 . . . . . . . 8
7271recnd 7900 . . . . . . 7
73 subcl 8068 . . . . . . 7
7466, 72, 73sylancr 411 . . . . . 6
7520a1i 9 . . . . . 6
7656, 57recap0d 8649 . . . . . 6 #
7774, 75, 76divclapd 8657 . . . . 5
7877, 75, 63mulassd 7895 . . . 4
7974, 75, 76divcanap1d 8658 . . . . 5
8079oveq1d 5836 . . . 4
8165, 78, 803eqtr2d 2196 . . 3
82 halfre 9040 . . . . . . 7
83 1re 7871 . . . . . . 7
84 halflt1 9044 . . . . . . 7
8582, 83, 84ltapii 8504 . . . . . 6 #
8685a1i 9 . . . . 5 #
8775, 86, 68geoserap 11397 . . . 4
8887oveq1d 5836 . . 3
89 mulid2 7870 . . . . . . 7
9089adantl 275 . . . . . 6
9190eqcomd 2163 . . . . 5
9270nncnd 8841 . . . . . 6
9370nnap0d 8873 . . . . . 6 #
9463, 92, 93divrecap2d 8661 . . . . 5
9591, 94oveq12d 5839 . . . 4
9666a1i 9 . . . . 5
9796, 72, 63subdird 8284 . . . 4
9895, 97eqtr4d 2193 . . 3
9981, 88, 983eqtr4d 2200 . 2
10016, 55, 993eqtrd 2194 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  cc 7724  cc0 7726  c1 7727   caddc 7729   cmul 7731   cmin 8040   # cap 8450   cdiv 8539  cn 8827  c2 8878  cn0 9084  cz 9161  cfz 9905  cexp 10411  csu 11243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244 This theorem is referenced by:  geo2lim  11406  trilpolemlt1  13583
 Copyright terms: Public domain W3C validator