Theorem cbvsumi 11373

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	|- F/_ k B
cbvsumi.2	|- F/_ j C
cbvsumi.3	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable group:   j, k, A

Allowed substitution hints:   B( j, k)   C( j, k)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2319	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2319	. 2 |- F/_ j A
4		cbvsumi.1	. 2 |- F/_ k B
5		cbvsumi.2	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11371	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   F/_wnfc 2306   sum_csu 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-recs 6309  df-frec 6395  df-seqfrec 10449  df-sumdc 11365

This theorem is referenced by:  sumfct  11385  isumss2  11404  fsumzcl2  11416  fsumsplitf  11419  sumsnf  11420  sumsns  11426  fsumsplitsnun  11430  fsum2dlemstep  11445  fisumcom2  11449  fsumshftm  11456  fsumiun  11488