Theorem cbvsumi 11405

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	|- F/_ k B
cbvsumi.2	|- F/_ j C
cbvsumi.3	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable group:   j, k, A

Allowed substitution hints:   B( j, k)   C( j, k)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2332	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2332	. 2 |- F/_ j A
4		cbvsumi.1	. 2 |- F/_ k B
5		cbvsumi.2	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11403	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   F/_wnfc 2319   sum_csu 11396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-recs 6331  df-frec 6417  df-seqfrec 10479  df-sumdc 11397

This theorem is referenced by:  sumfct  11417  isumss2  11436  fsumzcl2  11448  fsumsplitf  11451  sumsnf  11452  sumsns  11458  fsumsplitsnun  11462  fsum2dlemstep  11477  fisumcom2  11481  fsumshftm  11488  fsumiun  11520