ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supisolem GIF version

Theorem supisolem 7001
Description: Lemma for supisoti 7003. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
supiso.2 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
supisolem ((𝜑𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑦,𝑧,𝐴   𝑣,𝐶,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤   𝑣,𝐹,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑦,𝑧   𝑣,𝑆,𝑤,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑣)

Proof of Theorem supisolem
StepHypRef Expression
1 supiso.1 . . 3 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 supiso.2 . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
31, 2jca 306 . 2 (𝜑 → (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴))
4 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
54adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
6 simplr 528 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐷𝐴)
7 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐶𝐴)
87sselda 3155 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐴)
9 isorel 5803 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝐷𝐴𝑦𝐴)) → (𝐷𝑅𝑦 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
105, 6, 8, 9syl12anc 1236 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → (𝐷𝑅𝑦 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1110notbid 667 . . . . 5 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → (¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1211ralbidva 2473 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
13 isof1o 5802 . . . . . . 7 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
144, 13syl 14 . . . . . 6 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
15 f1ofn 5458 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
1614, 15syl 14 . . . . 5 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
17 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1817notbid 667 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐹𝑦) → (¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1918ralima 5751 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
2016, 7, 19syl2anc 411 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
2112, 20bitr4d 191 . . 3 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤))
224adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
23 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
24 simplr 528 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐷𝐴)
25 isorel 5803 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝐷𝐴)) → (𝑦𝑅𝐷 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷)))
2622, 23, 24, 25syl12anc 1236 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝐷 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷)))
2722adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
28 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑦𝐴)
297adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐶𝐴)
3029sselda 3155 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑧𝐴)
31 isorel 5803 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦𝑅𝑧 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3227, 28, 30, 31syl12anc 1236 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑦𝑅𝑧 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3332rexbidva 2474 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3416adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
35 breq2 4004 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3635rexima 5750 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐶𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3734, 29, 36syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3833, 37bitr4d 191 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣))
3926, 38imbi12d 234 . . . . 5 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣)))
4039ralbidva 2473 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣)))
41 f1ofo 5464 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
42 breq1 4003 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) ↔ 𝑤𝑆(𝐹𝐷)))
43 breq1 4003 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)𝑆𝑣𝑤𝑆𝑣))
4443rexbidv 2478 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))
4542, 44imbi12d 234 . . . . . 6 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4645cbvfo 5780 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4714, 41, 463syl 17 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4840, 47bitrd 188 . . 3 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4921, 48anbi12d 473 . 2 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
503, 49sylan 283 1 ((𝜑𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4000  cima 4626   Fn wfn 5207  ontowfo 5210  1-1-ontowf1o 5211  cfv 5212   Isom wiso 5213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221
This theorem is referenced by:  supisoex  7002  supisoti  7003
  Copyright terms: Public domain W3C validator