ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supisolem GIF version

Theorem supisolem 6895
Description: Lemma for supisoti 6897. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
supiso.2 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
supisolem ((𝜑𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑦,𝑧,𝐴   𝑣,𝐶,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤   𝑣,𝐹,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑦,𝑧   𝑣,𝑆,𝑤,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑣)

Proof of Theorem supisolem
StepHypRef Expression
1 supiso.1 . . 3 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 supiso.2 . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
31, 2jca 304 . 2 (𝜑 → (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴))
4 simpll 518 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
54adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
6 simplr 519 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐷𝐴)
7 simplr 519 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐶𝐴)
87sselda 3097 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐴)
9 isorel 5709 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝐷𝐴𝑦𝐴)) → (𝐷𝑅𝑦 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
105, 6, 8, 9syl12anc 1214 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → (𝐷𝑅𝑦 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1110notbid 656 . . . . 5 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → (¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1211ralbidva 2433 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
13 isof1o 5708 . . . . . . 7 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
144, 13syl 14 . . . . . 6 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
15 f1ofn 5368 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
1614, 15syl 14 . . . . 5 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
17 breq2 3933 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1817notbid 656 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐹𝑦) → (¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1918ralima 5657 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
2016, 7, 19syl2anc 408 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
2112, 20bitr4d 190 . . 3 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤))
224adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
23 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
24 simplr 519 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐷𝐴)
25 isorel 5709 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝐷𝐴)) → (𝑦𝑅𝐷 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷)))
2622, 23, 24, 25syl12anc 1214 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝐷 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷)))
2722adantr 274 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
28 simplr 519 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑦𝐴)
297adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐶𝐴)
3029sselda 3097 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑧𝐴)
31 isorel 5709 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦𝑅𝑧 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3227, 28, 30, 31syl12anc 1214 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑦𝑅𝑧 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3332rexbidva 2434 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3416adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
35 breq2 3933 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3635rexima 5656 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐶𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3734, 29, 36syl2anc 408 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3833, 37bitr4d 190 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣))
3926, 38imbi12d 233 . . . . 5 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣)))
4039ralbidva 2433 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣)))
41 f1ofo 5374 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
42 breq1 3932 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) ↔ 𝑤𝑆(𝐹𝐷)))
43 breq1 3932 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)𝑆𝑣𝑤𝑆𝑣))
4443rexbidv 2438 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))
4542, 44imbi12d 233 . . . . . 6 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4645cbvfo 5686 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4714, 41, 463syl 17 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4840, 47bitrd 187 . . 3 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4921, 48anbi12d 464 . 2 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
503, 49sylan 281 1 ((𝜑𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  wss 3071   class class class wbr 3929  cima 4542   Fn wfn 5118  ontowfo 5121  1-1-ontowf1o 5122  cfv 5123   Isom wiso 5124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132
This theorem is referenced by:  supisoex  6896  supisoti  6897
  Copyright terms: Public domain W3C validator