Theorem tfisi 4583

Description: A transfinite induction scheme in "implicit" form where the induction is done on an object derived from the object of interest. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfisi.a	|- ( ph -> A e. V )
tfisi.b	|- ( ph -> T e. On )
tfisi.c	|- ( ( ph /\ ( R e. On /\ R C_ T ) /\ A. y ( S e. R -> ch ) ) -> ps )
tfisi.d	|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
tfisi.e	|- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
tfisi.f	|- ( x = y -> R = S )
tfisi.g	|- ( x = A -> R = T )

Assertion

Ref	Expression
tfisi	|- ( ph -> th )

Distinct variable groups:   x, y, T   y, R   x, S   ch, x   ph, x, y   ps, y   x, A   th, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   th( y)   A( y)   R( x)   S( y)   V( x, y)

Proof of Theorem tfisi

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3175	. 2 |- T C_ T
2		eqid 2177	. . . . 5 |- T = T
3		tfisi.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
4		tfisi.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. On )
5		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( R = z <-> R = w ) )
6		sseq1 3178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( z C_ T <-> w C_ T ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( ph /\ z C_ T ) <-> ( ph /\ w C_ T ) ) )
8	7	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) )
9	5, 8	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) ) )
10	9	albidv 1824	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. x ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) ) )
11		tfisi.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> R = S )
12	11	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( R = w <-> S = w ) )
13		tfisi.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) <-> ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) )
16	15	cbvalv 1917	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( R = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ps ) ) <-> A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
17	10, 16	bitrdi 196	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) )
18		eqeq2 2187	. . . . . . . . . 10 |- ( z = T -> ( R = z <-> R = T ) )
19		sseq1 3178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = T -> ( z C_ T <-> T C_ T ) )
20	19	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = T -> ( ( ph /\ z C_ T ) <-> ( ph /\ T C_ T ) ) )
21	20	imbi1d 231	. . . . . . . . . 10 |- ( z = T -> ( ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
22	18, 21	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( z = T -> ( ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) ) )
23	22	albidv 1824	. . . . . . . 8 |- ( z = T -> ( A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) <-> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) ) )
24		simp3l 1025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ph )
25		simp2 998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R = z )
26		simp1l 1021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> z e. On )
27	25, 26	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R e. On )
28		simp3r 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> z C_ T )
29	25, 28	eqsstrd 3191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> R C_ T )
30		simpl3l 1052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> ph )
31		simpl1l 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> z e. On )
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R e. R )
33		simpl2 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> R = z )
34	32, 33	eleqtrd 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R e. z )
35		onelss 4384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> ( [_ v / x ]_ R e. z -> [_ v / x ]_ R C_ z ) )
36	31, 34, 35	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R C_ z )
37		simpl3r 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> z C_ T )
38	36, 37	sstrd 3165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R C_ T )
39		eqeq2 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( S = w <-> S = [_ v / x ]_ R ) )
40		sseq1 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( w C_ T <-> [_ v / x ]_ R C_ T ) )
41	40	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ w C_ T ) <-> ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) ) )
42	41	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) <-> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
43	39, 42	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) <-> ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) ) )
44	43	albidv 1824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = [_ v / x ]_ R -> ( A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) <-> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) ) )
45		simpl1r 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) )
46	44, 45, 34	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) )
47		eqidd 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R )
48		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ x y
49		nfcv 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ x S
50	48, 49, 11	csbhypf 3095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = y -> [_ v / x ]_ R = S )
51	50	eqcomd 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = y -> S = [_ v / x ]_ R )
52	51	equcoms 1708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> S = [_ v / x ]_ R )
53	52	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( S = [_ v / x ]_ R <-> [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R ) )
54		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ x ch
55	54, 13	sbhypf 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = y -> ( [ v / x ] ps <-> ch ) )
56	55	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = y -> ( ch <-> [ v / x ] ps ) )
57	56	equcoms 1708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = v -> ( ch <-> [ v / x ] ps ) )
58	57	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = v -> ( ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) <-> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) )
59	53, 58	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = v -> ( ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) <-> ( [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) ) )
60	59	spv 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y ( S = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> ch ) ) -> ( [_ v / x ]_ R = [_ v / x ]_ R -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) ) )
61	46, 47, 60	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> ( ( ph /\ [_ v / x ]_ R C_ T ) -> [ v / x ] ps ) )
62	30, 38, 61	mp2and 433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) /\ [_ v / x ]_ R e. R ) -> [ v / x ] ps )
63	62	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) )
64	63	alrimiv 1874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> A. v ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) )
65	50	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( [_ v / x ]_ R e. R <-> S e. R ) )
66	65, 55	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) <-> ( S e. R -> ch ) ) )
67	66	cbvalv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v ( [_ v / x ]_ R e. R -> [ v / x ] ps ) <-> A. y ( S e. R -> ch ) )
68	64, 67	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> A. y ( S e. R -> ch ) )
69		tfisi.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. On /\ R C_ T ) /\ A. y ( S e. R -> ch ) ) -> ps )
70	24, 27, 29, 68, 69	syl121anc 1243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) /\ R = z /\ ( ph /\ z C_ T ) ) -> ps )
71	70	3exp 1202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) )
72	71	alrimiv 1874	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. On /\ A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) ) -> A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) )
73	72	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( z e. On -> ( A. w e. z A. y ( S = w -> ( ( ph /\ w C_ T ) -> ch ) ) -> A. x ( R = z -> ( ( ph /\ z C_ T ) -> ps ) ) ) )
74	17, 23, 73	tfis3 4582	. . . . . . 7 |- ( T e. On -> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
75	4, 74	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) )
76		tfisi.g	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> R = T )
77	76	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( R = T <-> T = T ) )
78		tfisi.e	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
79	78	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) <-> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) )
80	77, 79	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) <-> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) ) )
81	80	spcgv 2824	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A. x ( R = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> ps ) ) -> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) ) )
82	3, 75, 81	sylc 62	. . . . 5 |- ( ph -> ( T = T -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) ) )
83	2, 82	mpi 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ph /\ T C_ T ) -> th ) )
84	83	expd 258	. . 3 |- ( ph -> ( ph -> ( T C_ T -> th ) ) )
85	84	pm2.43i 49	. 2 |- ( ph -> ( T C_ T -> th ) )
86	1, 85	mpi 15	1 |- ( ph -> th )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   [wsb 1762   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057   C_ wss 3129   Oncon0 4360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-in 3135  df-ss 3142  df-uni 3808  df-tr 4099  df-iord 4363  df-on 4365

This theorem is referenced by: (None)