ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgss2 GIF version

Theorem tgss2 13549
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem tgss2
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢)
2 uniexg 4439 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
32adantr 276 . . . . 5 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
41, 3eqeltrrd 2255 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 ∈ V)
5 uniexb 4473 . . . 4 (𝐢 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐢 ∈ V)
64, 5sylibr 134 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ V)
7 tgss3 13548 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ)))
86, 7syldan 282 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ)))
9 eltg2b 13524 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
106, 9syl 14 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
11 elunii 3814 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
1211ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
13 biimt 241 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1514ralbidva 2473 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1610, 15sylan9bb 462 . . . . 5 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
17 ralcom3 2644 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
1816, 17bitrdi 196 . . . 4 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
1918ralbidva 2473 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
20 dfss3 3145 . . 3 (𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 ∈ (topGenβ€˜πΆ))
21 ralcom 2640 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡(π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦)))
2219, 20, 213bitr4g 223 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ (𝐡 βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
238, 22bitrd 188 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π΅βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129  βˆͺ cuni 3809  β€˜cfv 5216  topGenctg 12702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-topgen 12708
This theorem is referenced by:  metss  13964
  Copyright terms: Public domain W3C validator