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Theorem metss 13545
Description: Two ways of saying that metric  D generates a finer topology than metric  C. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metequiv.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metss  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, C    J, r, s, x    K, r, s, x    D, r, s, x    X, r, s, x

Proof of Theorem metss
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metequiv.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopnval 13493 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
32adantr 276 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
4 metequiv.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 13493 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
65adantl 277 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
73, 6sseq12d 3184 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  ( topGen ` 
ran  ( ball `  C
) )  C_  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) ) ) )
8 blbas 13484 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
98adantr 276 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
10 unirnbl 13474 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
1110adantr 276 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
12 unirnbl 13474 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1312adantl 277 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1411, 13eqtr4d 2211 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  U. ran  ( ball `  D ) )
15 tgss2 13130 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  C
)  e.  TopBases  /\  U. ran  ( ball `  C
)  =  U. ran  ( ball `  D )
)  ->  ( ( topGen `
 ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
169, 14, 15syl2anc 411 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  (
( topGen `  ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1711raleqdv 2676 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
18 blssex 13481 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D ) ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
1918adantll 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
)  <->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) )
2019imbi2d 230 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
2120ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
22 rpxr 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blelrn 13471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
2422, 23syl3an3 1273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
25 blcntr 13467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  C
) r ) )
26 eleq2 2239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
27 sseq2 3177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y  <->  ( x
( ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
2827rexbidv 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y 
<->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
2926, 28imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3029rspcv 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C ) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3130com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) ) )
3224, 25, 31sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
33323expa 1203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3433adantllr 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
3534ralrimdva 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
36 blss 13479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
37363expb 1204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e. 
ran  ( ball `  C
)  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )
3837adantlr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  (
y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
3938adantlr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
40 r19.29 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
) )
41 sstr 3161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4241expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( ( x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4342reximdv 2576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4443impcom 125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4544rexlimivw 2588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4640, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4746ex 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4839, 47syl5com 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  ( y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4948expr 375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) ) )
5049com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )
)  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5150ralrimdva 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5235, 51impbid 129 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5321, 52bitrd 188 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5453ralbidva 2471 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5517, 54bitrd 188 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
567, 16, 553bitrd 214 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454    C_ wss 3127   U.cuni 3805   ran crn 4621   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RR*cxr 7965   RR+crp 9622   topGenctg 12623   *Metcxmet 13031   ballcbl 13033   MetOpencmopn 13036   TopBasesctb 13091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-xneg 9741  df-xadd 9742  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-topgen 12629  df-psmet 13038  df-xmet 13039  df-bl 13041  df-mopn 13042  df-top 13047  df-bases 13092
This theorem is referenced by:  metequiv  13546  metss2  13549
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