Theorem metss 15595

Description: Two ways of saying that metric D generates a finer topology than metric C. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	|- J = ( MetOpen ` C )
metequiv.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metss	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J C_ K <-> A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )

Distinct variable groups:   s, r, x, C   J, r, s, x   K, r, s, x   D, r, s, x   X, r, s, x

Proof of Theorem metss

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metequiv.3	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopnval 15543	. . . 4 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` C ) ) )
3	2	adantr 276	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` C ) ) )
4		metequiv.4	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` D )
5	4	mopnval 15543	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> K = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> K = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
7	3, 6	sseq12d 3279	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J C_ K <-> ( topGen ` ran ( ball ` C ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) )
8		blbas 15534	. . . 4 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` C ) e. TopBases )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ran ( ball ` C ) e. TopBases )
10		unirnbl 15524	. . . . 5 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` C ) = X )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> U. ran ( ball ` C ) = X )
12		unirnbl 15524	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> U. ran ( ball ` D ) = X )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> U. ran ( ball ` D ) = X )
14	11, 13	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> U. ran ( ball ` C ) = U. ran ( ball ` D ) )
15		tgss2 15180	. . 3 |- ( ( ran ( ball ` C ) e. TopBases /\ U. ran ( ball ` C ) = U. ran ( ball ` D ) ) -> ( ( topGen ` ran ( ball ` C ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) <-> A. x e. U. ran ( ball ` C ) A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
16	9, 14, 15	syl2anc 415	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( ( topGen ` ran ( ball ` C ) ) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) <-> A. x e. U. ran ( ball ` C ) A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
17	11	raleqdv 2755	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. U. ran ( ball ` C ) A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. X A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
18		blssex 15531	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) <-> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) )
19	18	adantll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) <-> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) )
20	19	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) ) )
21	20	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) ) )
22		rpxr 10062	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
23		blelrn 15521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ r e. RR* ) -> ( x ( ball ` C ) r ) e. ran ( ball ` C ) )
24	22, 23	syl3an3 1313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` C ) r ) e. ran ( ball ` C ) )
25		blcntr 15517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ r e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` C ) r ) )
26		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( x ( ball ` C ) r ) -> ( x e. y <-> x e. ( x ( ball ` C ) r ) ) )
27		sseq2 3272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x ( ball ` C ) r ) -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ y <-> ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
28	27	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( x ( ball ` C ) r ) -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y <-> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
29	26, 28	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x ( ball ` C ) r ) -> ( ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) <-> ( x e. ( x ( ball ` C ) r ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) ) )
30	29	rspcv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( ball ` C ) r ) e. ran ( ball ` C ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) -> ( x e. ( x ( ball ` C ) r ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) ) )
31	30	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x ( ball ` C ) r ) e. ran ( ball ` C ) -> ( x e. ( x ( ball ` C ) r ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) ) )
32	24, 25, 31	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
33	32	3expa 1234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
34	33	adantllr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
35	34	ralrimdva 2630	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
36		blss 15529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ y e. ran ( ball ` C ) /\ x e. y ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y )
37	36	3expb 1235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. ran ( ball ` C ) /\ x e. y ) ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y )
38	37	adantlr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ ( y e. ran ( ball ` C ) /\ x e. y ) ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y )
39	38	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. ran ( ball ` C ) /\ x e. y ) ) -> E. r e. RR+ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y )
40		r19.29 2688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. r e. RR+ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y ) -> E. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y ) )
41		sstr 3256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ y )
42	41	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x ( ball ` C ) r ) C_ y -> ( ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) -> ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) )
43	42	reximdv 2651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x ( ball ` C ) r ) C_ y -> ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) )
44	43	impcom 125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y )
45	44	rexlimivw 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. r e. RR+ ( E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y )
46	40, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) /\ E. r e. RR+ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y )
47	46	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) -> ( E. r e. RR+ ( x ( ball ` C ) r ) C_ y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) )
48	39, 47	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ ( y e. ran ( ball ` C ) /\ x e. y ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) )
49	48	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ y e. ran ( ball ` C ) ) -> ( x e. y -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) /\ y e. ran ( ball ` C ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) -> ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) ) )
51	50	ralrimdva 2630	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) -> A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) ) )
52	35, 51	impbid 129	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ y ) <-> A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
53	21, 52	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
54	53	ralbidva 2546	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. X A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
55	17, 54	bitrd 188	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( A. x e. U. ran ( ball ` C ) A. y e. ran ( ball ` C ) ( x e. y -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )
56	7, 16, 55	3bitrd 214	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> ( J C_ K <-> A. x e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ ( x ( ball ` D ) s ) C_ ( x ( ball ` C ) r ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   U.cuni 3935   ran crn 4775   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RR*cxr 8359   RR+crp 10054   topGenctg 13608   *Metcxmet 14873   ballcbl 14875   MetOpencmopn 14878   TopBasesctb 15143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-bases 15144

This theorem is used by:  metequiv  15596  metss2  15599