ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  toponrestid Unicode version

Theorem toponrestid 12198
Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
toponrestid.t  |-  A  e.  (TopOn `  B )
Assertion
Ref Expression
toponrestid  |-  A  =  ( At  B )

Proof of Theorem toponrestid
StepHypRef Expression
1 toponrestid.t . . 3  |-  A  e.  (TopOn `  B )
21toponunii 12194 . . . 4  |-  B  = 
U. A
32restid 12141 . . 3  |-  ( A  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( At  B
)  =  A )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( At  B )  =  A
54eqcomi 2143 1  |-  A  =  ( At  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ↾t crest 12130  TopOnctopon 12187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-rest 12132  df-topon 12188
This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  12760  cncfmpt2fcntop  12764  cnrehmeocntop  12772  cnlimcim  12819  cnlimc  12820  dvidlemap  12839  dvcnp2cntop  12842  dvcn  12843  dvaddxxbr  12844  dvmulxxbr  12845  dvcoapbr  12850  dvcjbr  12851  dvrecap  12856  dveflem  12865
  Copyright terms: Public domain W3C validator