Theorem toponrestid 14608

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	|- A e. (TopOn ` B )

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	|- A = ( A ↾t B )

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 |- A e. (TopOn ` B )
2	1	toponunii 14604	. . . 4 |- B = U. A
3	2	restid 13197	. . 3 |- ( A e. (TopOn ` B ) -> ( A ↾t B ) = A )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( A ↾t B ) = A
5	4	eqcomi 2211	1 |- A = ( A ↾t B )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ↾_t crest 13186  TopOnctopon 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-rest 13188  df-topon 14598

This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  15181  cncfmpt2fcntop  15186  cnrehmeocntop  15197  cnlimcim  15258  cnlimc  15259  dvidlemap  15278  dvcnp2cntop  15286  dvcn  15287  dvaddxxbr  15288  dvmulxxbr  15289  dvcoapbr  15294  dvcjbr  15295  dvrecap  15300  dveflem  15313  dvply1  15352