Theorem toponrestid 12778

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	|- A e. (TopOn ` B )

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	|- A = ( A ↾t B )

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 |- A e. (TopOn ` B )
2	1	toponunii 12774	. . . 4 |- B = U. A
3	2	restid 12583	. . 3 |- ( A e. (TopOn ` B ) -> ( A ↾t B ) = A )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( A ↾t B ) = A
5	4	eqcomi 2174	1 |- A = ( A ↾t B )

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   ↾_t crest 12572  TopOnctopon 12767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-rest 12574  df-topon 12768

This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  13340  cncfmpt2fcntop  13344  cnrehmeocntop  13352  cnlimcim  13399  cnlimc  13400  dvidlemap  13419  dvcnp2cntop  13422  dvcn  13423  dvaddxxbr  13424  dvmulxxbr  13425  dvcoapbr  13430  dvcjbr  13431  dvrecap  13436  dveflem  13446