Theorem toponrestid 13998

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	|- A e. (TopOn ` B )

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	|- A = ( A ↾t B )

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 |- A e. (TopOn ` B )
2	1	toponunii 13994	. . . 4 |- B = U. A
3	2	restid 12758	. . 3 |- ( A e. (TopOn ` B ) -> ( A ↾t B ) = A )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( A ↾t B ) = A
5	4	eqcomi 2193	1 |- A = ( A ↾t B )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   ↾_t crest 12747  TopOnctopon 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-rest 12749  df-topon 13988

This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  14558  cncfmpt2fcntop  14562  cnrehmeocntop  14570  cnlimcim  14617  cnlimc  14618  dvidlemap  14637  dvcnp2cntop  14640  dvcn  14641  dvaddxxbr  14642  dvmulxxbr  14643  dvcoapbr  14648  dvcjbr  14649  dvrecap  14654  dveflem  14664