Theorem toponrestid 14526

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	|- A e. (TopOn ` B )

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	|- A = ( A ↾t B )

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 |- A e. (TopOn ` B )
2	1	toponunii 14522	. . . 4 |- B = U. A
3	2	restid 13115	. . 3 |- ( A e. (TopOn ` B ) -> ( A ↾t B ) = A )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( A ↾t B ) = A
5	4	eqcomi 2209	1 |- A = ( A ↾t B )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   ↾_t crest 13104  TopOnctopon 14515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-rest 13106  df-topon 14516

This theorem is referenced by:  cncfcn1cntop  15099  cncfmpt2fcntop  15104  cnrehmeocntop  15115  cnlimcim  15176  cnlimc  15177  dvidlemap  15196  dvcnp2cntop  15204  dvcn  15205  dvaddxxbr  15206  dvmulxxbr  15207  dvcoapbr  15212  dvcjbr  15213  dvrecap  15218  dveflem  15231  dvply1  15270