Theorem tposmpo 6336

Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
tposmpo	|- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem tposmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 5924	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( y e. B /\ x e. A ) )
4	3	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) )
5	4	oprabbii 5974	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
6	1, 2, 5	3eqtri 2218	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
7	6	tposoprab 6335	. 2 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
8		df-mpo 5924	. 2 |- ( y e. B , x e. A |-> C ) = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
9	7, 8	eqtr4i 2217	1 |- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {coprab 5920   e. cmpo 5921  tpos ctpos 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-tpos 6300

This theorem is referenced by: (None)