Theorem tposmpo 6446

Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
tposmpo	|- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem tposmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 6022	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( y e. B /\ x e. A ) )
4	3	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) )
5	4	oprabbii 6075	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
6	1, 2, 5	3eqtri 2256	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
7	6	tposoprab 6445	. 2 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
8		df-mpo 6022	. 2 |- ( y e. B , x e. A |-> C ) = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
9	7, 8	eqtr4i 2255	1 |- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {coprab 6018   e. cmpo 6019  tpos ctpos 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-tpos 6410

This theorem is referenced by: (None)