Theorem tposmpo 6427

Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
tposmpo	|- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem tposmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 6006	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( y e. B /\ x e. A ) )
4	3	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) )
5	4	oprabbii 6059	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
6	1, 2, 5	3eqtri 2254	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
7	6	tposoprab 6426	. 2 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
8		df-mpo 6006	. 2 |- ( y e. B , x e. A |-> C ) = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
9	7, 8	eqtr4i 2253	1 |- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {coprab 6002   e. cmpo 6003  tpos ctpos 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-tpos 6391

This theorem is referenced by: (None)