Theorem tposmpo 6490

Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
tposmpo	|- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem tposmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposmpo.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 6033	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( y e. B /\ x e. A ) )
4	3	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) )
5	4	oprabbii 6086	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
6	1, 2, 5	3eqtri 2256	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
7	6	tposoprab 6489	. 2 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
8		df-mpo 6033	. 2 |- ( y e. B , x e. A |-> C ) = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
9	7, 8	eqtr4i 2255	1 |- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {coprab 6029   e. cmpo 6030  tpos ctpos 6453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-tpos 6454

This theorem is referenced by: (None)