Theorem tposmpo 6339

Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tposmpo	⊢ tpos 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tposmpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposmpo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		df-mpo 5927	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
3		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	anbi1i 458	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶))
5	4	oprabbii 5977	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
6	1, 2, 5	3eqtri 2221	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
7	6	tposoprab 6338	. 2 ⊢ tpos 𝐹 = {⟨⟨𝑦, 𝑥⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
8		df-mpo 5927	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑦, 𝑥⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
9	7, 8	eqtr4i 2220	1 ⊢ tpos 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {coprab 5923   ∈ cmpo 5924  tpos ctpos 6302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-tpos 6303

This theorem is referenced by: (None)