Theorem tposmpo 6178

Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
tposmpo	⊢ tpos 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tposmpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposmpo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		df-mpo 5779	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
3		ancom 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	anbi1i 453	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶))
5	4	oprabbii 5826	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
6	1, 2, 5	3eqtri 2164	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
7	6	tposoprab 6177	. 2 ⊢ tpos 𝐹 = {⟨⟨𝑦, 𝑥⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
8		df-mpo 5779	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑦, 𝑥⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
9	7, 8	eqtr4i 2163	1 ⊢ tpos 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {coprab 5775   ∈ cmpo 5776  tpos ctpos 6141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-tpos 6142

This theorem is referenced by: (None)