Theorem tposoprab 6299

Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposoprab.1	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
tposoprab	|- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem tposoprab

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposoprab.1	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2	1	tposeqi 6296	. 2 |- tpos F = tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph }
3		reldmoprab 5976	. . 3 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		dftpos3 6281	. . 3 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
6		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ y <. b , a >.
7		nfoprab2 5941	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ y c
9	6, 7, 8	nfbr 4064	. . . 4 |- F/ y <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
10		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ x <. b , a >.
11		nfoprab1 5940	. . . . 5 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
12		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ x c
13	10, 11, 12	nfbr 4064	. . . 4 |- F/ x <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
14		nfv 1539	. . . 4 |- F/ a <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
15		nfv 1539	. . . 4 |- F/ b <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
16		opeq12 3795	. . . . . 6 |- ( ( b = x /\ a = y ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
17	16	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
18	17	breq1d 4028	. . . 4 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c ) )
19	9, 13, 14, 15, 18	cbvoprab12 5965	. . 3 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
20		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ z <. x , y >.
21		nfoprab3 5942	. . . . 5 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
22		nfcv 2332	. . . . 5 |- F/_ z c
23	20, 21, 22	nfbr 4064	. . . 4 |- F/ z <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
24		nfv 1539	. . . 4 |- F/ c ph
25		breq2 4022	. . . . 5 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z ) )
26		df-br 4019	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
27		oprabid 5923	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
28	26, 27	bitri 184	. . . . 5 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> ph )
29	25, 28	bitrdi 196	. . . 4 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> ph ) )
30	23, 24, 29	cbvoprab3 5967	. . 3 |- { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
31	19, 30	eqtri 2210	. 2 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
32	2, 5, 31	3eqtri 2214	1 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018   dom cdm 4641   Rel wrel 4646   {coprab 5892  tpos ctpos 6263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-oprab 5895  df-tpos 6264

This theorem is referenced by:  tposmpo  6300