Theorem tposoprab 6256

Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposoprab.1	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
tposoprab	|- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem tposoprab

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposoprab.1	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2	1	tposeqi 6253	. 2 |- tpos F = tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph }
3		reldmoprab 5935	. . 3 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		dftpos3 6238	. . 3 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
6		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ y <. b , a >.
7		nfoprab2 5900	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ y c
9	6, 7, 8	nfbr 4033	. . . 4 |- F/ y <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
10		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ x <. b , a >.
11		nfoprab1 5899	. . . . 5 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
12		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ x c
13	10, 11, 12	nfbr 4033	. . . 4 |- F/ x <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
14		nfv 1521	. . . 4 |- F/ a <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
15		nfv 1521	. . . 4 |- F/ b <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
16		opeq12 3765	. . . . . 6 |- ( ( b = x /\ a = y ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
17	16	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
18	17	breq1d 3997	. . . 4 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c ) )
19	9, 13, 14, 15, 18	cbvoprab12 5924	. . 3 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
20		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ z <. x , y >.
21		nfoprab3 5901	. . . . 5 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
22		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ z c
23	20, 21, 22	nfbr 4033	. . . 4 |- F/ z <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
24		nfv 1521	. . . 4 |- F/ c ph
25		breq2 3991	. . . . 5 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z ) )
26		df-br 3988	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
27		oprabid 5882	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
28	26, 27	bitri 183	. . . . 5 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> ph )
29	25, 28	bitrdi 195	. . . 4 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> ph ) )
30	23, 24, 29	cbvoprab3 5926	. . 3 |- { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
31	19, 30	eqtri 2191	. 2 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
32	2, 5, 31	3eqtri 2195	1 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584   class class class wbr 3987   dom cdm 4609   Rel wrel 4614   {coprab 5851  tpos ctpos 6220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-fv 5204  df-oprab 5854  df-tpos 6221

This theorem is referenced by:  tposmpo  6257