ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposoprab Unicode version

Theorem tposoprab 5977
Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tposoprab.1  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
Assertion
Ref Expression
tposoprab  |- tpos  F  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem tposoprab
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tposoprab.1 . . 3  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
21tposeqi 5974 . 2  |- tpos  F  = tpos  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
3 reldmoprab 5668 . . 3  |-  Rel  dom  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
4 dftpos3 5959 . . 3  |-  ( Rel 
dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  -> tpos  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  <. b ,  a >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } c } )
53, 4ax-mp 7 . 2  |- tpos  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  <. b ,  a >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } c }
6 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ y <. b ,  a >.
7 nfoprab2 5634 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
8 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ y
c
96, 7, 8nfbr 3855 . . . 4  |-  F/ y
<. b ,  a >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
10 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ x <. b ,  a >.
11 nfoprab1 5633 . . . . 5  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
12 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ x
c
1310, 11, 12nfbr 3855 . . . 4  |-  F/ x <. b ,  a >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
14 nfv 1462 . . . 4  |-  F/ a
<. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
15 nfv 1462 . . . 4  |-  F/ b
<. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
16 opeq12 3598 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  x  /\  a  =  y )  -> 
<. b ,  a >.  =  <. x ,  y
>. )
1716ancoms 264 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  -> 
<. b ,  a >.  =  <. x ,  y
>. )
1817breq1d 3821 . . . 4  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( <. b ,  a
>. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c  <->  <. x ,  y >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } c ) )
199, 13, 14, 15, 18cbvoprab12 5657 . . 3  |-  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }  =  { <. <. y ,  x >. ,  c >.  |  <. x ,  y >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }
20 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ z <. x ,  y >.
21 nfoprab3 5635 . . . . 5  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
22 nfcv 2223 . . . . 5  |-  F/_ z
c
2320, 21, 22nfbr 3855 . . . 4  |-  F/ z
<. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
24 nfv 1462 . . . 4  |-  F/ c
ph
25 breq2 3815 . . . . 5  |-  ( c  =  z  ->  ( <. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c  <->  <. x ,  y >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } z ) )
26 df-br 3812 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } )
27 oprabid 5616 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
2826, 27bitri 182 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } z  <->  ph )
2925, 28syl6bb 194 . . . 4  |-  ( c  =  z  ->  ( <. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c  <->  ph ) )
3023, 24, 29cbvoprab3 5659 . . 3  |-  { <. <.
y ,  x >. ,  c >.  |  <. x ,  y >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
3119, 30eqtri 2103 . 2  |-  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
322, 5, 313eqtri 2107 1  |- tpos  F  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3425   class class class wbr 3811   dom cdm 4401   Rel wrel 4406   {coprab 5592  tpos ctpos 5941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-fv 4977  df-oprab 5595  df-tpos 5942
This theorem is referenced by:  tposmpt2  5978
  Copyright terms: Public domain W3C validator