Theorem tposoprab 5977

Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposoprab.1	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
tposoprab	|- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem tposoprab

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposoprab.1	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2	1	tposeqi 5974	. 2 |- tpos F = tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph }
3		reldmoprab 5668	. . 3 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		dftpos3 5959	. . 3 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } )
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
6		nfcv 2223	. . . . 5 |- F/_ y <. b , a >.
7		nfoprab2 5634	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfcv 2223	. . . . 5 |- F/_ y c
9	6, 7, 8	nfbr 3855	. . . 4 |- F/ y <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
10		nfcv 2223	. . . . 5 |- F/_ x <. b , a >.
11		nfoprab1 5633	. . . . 5 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
12		nfcv 2223	. . . . 5 |- F/_ x c
13	10, 11, 12	nfbr 3855	. . . 4 |- F/ x <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
14		nfv 1462	. . . 4 |- F/ a <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
15		nfv 1462	. . . 4 |- F/ b <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
16		opeq12 3598	. . . . . 6 |- ( ( b = x /\ a = y ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
17	16	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
18	17	breq1d 3821	. . . 4 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c ) )
19	9, 13, 14, 15, 18	cbvoprab12 5657	. . 3 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
20		nfcv 2223	. . . . 5 |- F/_ z <. x , y >.
21		nfoprab3 5635	. . . . 5 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
22		nfcv 2223	. . . . 5 |- F/_ z c
23	20, 21, 22	nfbr 3855	. . . 4 |- F/ z <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
24		nfv 1462	. . . 4 |- F/ c ph
25		breq2 3815	. . . . 5 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z ) )
26		df-br 3812	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
27		oprabid 5616	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
28	26, 27	bitri 182	. . . . 5 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> ph )
29	25, 28	syl6bb 194	. . . 4 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> ph ) )
30	23, 24, 29	cbvoprab3 5659	. . 3 |- { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
31	19, 30	eqtri 2103	. 2 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
32	2, 5, 31	3eqtri 2107	1 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   <.cop 3425   class class class wbr 3811   dom cdm 4401   Rel wrel 4406   {coprab 5592  tpos ctpos 5941

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-fv 4977  df-oprab 5595  df-tpos 5942

This theorem is referenced by:  tposmpt2  5978