Theorem umgrbien 16031

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	|- X e. V
umgrbi.y	|- Y e. V
umgrbi.n	|- X =/= Y

Assertion

Ref	Expression
umgrbien	|- { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Distinct variable groups:   x, V   x, X   x, Y

Proof of Theorem umgrbien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 |- X e. V
2		umgrbi.y	. . . 4 |- Y e. V
3		prssi 3836	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } C_ V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- { X , Y } C_ V
5		prexg 4307	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } e. _V )
6	1, 2, 5	mp2an 426	. . . 4 |- { X , Y } e. _V
7	6	elpw 3662	. . 3 |- ( { X , Y } e. ~P V <-> { X , Y } C_ V )
8	4, 7	mpbir 146	. 2 |- { X , Y } e. ~P V
9		umgrbi.n	. . 3 |- X =/= Y
10		pr2ne 7440	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( { X , Y } ~~ 2o <-> X =/= Y ) )
11	1, 2, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( { X , Y } ~~ 2o <-> X =/= Y )
12	9, 11	mpbir 146	. 2 |- { X , Y } ~~ 2o
13		breq1 4096	. . 3 |- ( x = { X , Y } -> ( x ~~ 2o <-> { X , Y } ~~ 2o ) )
14	13	elrab 2963	. 2 |- ( { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> ( { X , Y } e. ~P V /\ { X , Y } ~~ 2o ) )
15	8, 12, 14	mpbir2an 951	1 |- { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {crab 2515   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   {cpr 3674   class class class wbr 4093   2oc2o 6619   ~~ cen 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953

This theorem is referenced by:  konigsbergiedgwen  16405