Theorem umgrbien 15895

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	|- X e. V
umgrbi.y	|- Y e. V
umgrbi.n	|- X =/= Y

Assertion

Ref	Expression
umgrbien	|- { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Distinct variable groups:   x, V   x, X   x, Y

Proof of Theorem umgrbien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 |- X e. V
2		umgrbi.y	. . . 4 |- Y e. V
3		prssi 3825	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } C_ V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- { X , Y } C_ V
5		prexg 4294	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } e. _V )
6	1, 2, 5	mp2an 426	. . . 4 |- { X , Y } e. _V
7	6	elpw 3655	. . 3 |- ( { X , Y } e. ~P V <-> { X , Y } C_ V )
8	4, 7	mpbir 146	. 2 |- { X , Y } e. ~P V
9		umgrbi.n	. . 3 |- X =/= Y
10		pr2ne 7353	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( { X , Y } ~~ 2o <-> X =/= Y ) )
11	1, 2, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( { X , Y } ~~ 2o <-> X =/= Y )
12	9, 11	mpbir 146	. 2 |- { X , Y } ~~ 2o
13		breq1 4085	. . 3 |- ( x = { X , Y } -> ( x ~~ 2o <-> { X , Y } ~~ 2o ) )
14	13	elrab 2959	. 2 |- ( { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> ( { X , Y } e. ~P V /\ { X , Y } ~~ 2o ) )
15	8, 12, 14	mpbir2an 948	1 |- { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2200   =/= wne 2400   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   {cpr 3667   class class class wbr 4082   2oc2o 6546   ~~ cen 6875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878

This theorem is referenced by: (None)