Theorem umgrbien 16217

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	|- X e. V
umgrbi.y	|- Y e. V
umgrbi.n	|- X =/= Y

Assertion

Ref	Expression
umgrbien	|- { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Distinct variable groups:   x, V   x, X   x, Y

Proof of Theorem umgrbien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 |- X e. V
2		umgrbi.y	. . . 4 |- Y e. V
3		prssi 3857	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } C_ V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- { X , Y } C_ V
5		prexg 4330	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } e. _V )
6	1, 2, 5	mp2an 426	. . . 4 |- { X , Y } e. _V
7	6	elpw 3680	. . 3 |- ( { X , Y } e. ~P V <-> { X , Y } C_ V )
8	4, 7	mpbir 146	. 2 |- { X , Y } e. ~P V
9		umgrbi.n	. . 3 |- X =/= Y
10		pr2ne 7502	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( { X , Y } ~~ 2o <-> X =/= Y ) )
11	1, 2, 10	mp2an 426	. . 3 |- ( { X , Y } ~~ 2o <-> X =/= Y )
12	9, 11	mpbir 146	. 2 |- { X , Y } ~~ 2o
13		breq1 4117	. . 3 |- ( x = { X , Y } -> ( x ~~ 2o <-> { X , Y } ~~ 2o ) )
14	13	elrab 2976	. 2 |- ( { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> ( { X , Y } e. ~P V /\ { X , Y } ~~ 2o ) )
15	8, 12, 14	mpbir2an 951	1 |- { X , Y } e. { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   ~Pcpw 3674   {cpr 3695   class class class wbr 4114   2oc2o 6654   ~~ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989

This theorem is referenced by:  konigsbergiedgwen  16591