Theorem umgrbien 15756

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
umgrbi.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
umgrbi.n	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Assertion

Ref	Expression
umgrbien	⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem umgrbien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
2		umgrbi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		prssi 3794	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5		prexg 4260	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
6	1, 2, 5	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
7	6	elpw 3624	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
8	4, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
9		umgrbi.n	. . 3 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌
10		pr2ne 7312	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
11	1, 2, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌)
12	9, 11	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o
13		breq1 4051	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
14	13	elrab 2931	. 2 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
15	8, 12, 14	mpbir2an 945	1 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  {crab 2489  Vcvv 2773   ⊆ wss 3168  𝒫 cpw 3618  {cpr 3636   class class class wbr 4048  2_oc2o 6506   ≈ cen 6835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-1o 6512  df-2o 6513  df-er 6630  df-en 6838

This theorem is referenced by: (None)