Theorem umgrbien 15954

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
umgrbi.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
umgrbi.n	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Assertion

Ref	Expression
umgrbien	⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem umgrbien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
2		umgrbi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		prssi 3829	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5		prexg 4299	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
6	1, 2, 5	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
7	6	elpw 3656	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
8	4, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
9		umgrbi.n	. . 3 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌
10		pr2ne 7391	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
11	1, 2, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌)
12	9, 11	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o
13		breq1 4089	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
14	13	elrab 2960	. 2 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
15	8, 12, 14	mpbir2an 948	1 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  {crab 2512  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  𝒫 cpw 3650  {cpr 3668   class class class wbr 4086  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905

This theorem is referenced by: (None)