Theorem umgrbien 16334

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
umgrbi.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
umgrbi.n	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Assertion

Ref	Expression
umgrbien	⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem umgrbien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
2		umgrbi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		prssi 3871	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5		prexg 4347	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
6	1, 2, 5	mp2an 430	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
7	6	elpw 3694	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
8	4, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
9		umgrbi.n	. . 3 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌
10		pr2ne 7532	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
11	1, 2, 10	mp2an 430	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌)
12	9, 11	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o
13		breq1 4131	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
14	13	elrab 2982	. 2 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
15	8, 12, 14	mpbir2an 955	1 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  {cpr 3709   class class class wbr 4128  2_oc2o 6675   ≈ cen 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017

This theorem is referenced by:  konigsbergiedgwen  16708