Theorem umgrbien 16097

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
umgrbi.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
umgrbi.n	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Assertion

Ref	Expression
umgrbien	⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem umgrbien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
2		umgrbi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		prssi 3851	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5		prexg 4324	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
6	1, 2, 5	mp2an 426	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
7	6	elpw 3674	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
8	4, 7	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
9		umgrbi.n	. . 3 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌
10		pr2ne 7488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
11	1, 2, 10	mp2an 426	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ≈ 2o ↔ 𝑋 ≠ 𝑌)
12	9, 11	mpbir 146	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o
13		breq1 4111	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (𝑥 ≈ 2o ↔ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
14	13	elrab 2972	. 2 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
15	8, 12, 14	mpbir2an 951	1 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  {crab 2524  Vcvv 2812   ⊆ wss 3210  𝒫 cpw 3668  {cpr 3689   class class class wbr 4108  2_oc2o 6640   ≈ cen 6972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975

This theorem is referenced by:  konigsbergiedgwen  16471