Theorem umgredg2en 16564

Description: An edge of a multigraph has exactly two ends. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumgr.v	|- V = (Vtx ` G )
isumgr.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgredg2en	|- ( ( G e. UMGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )

Proof of Theorem umgredg2en

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumgr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		isumgr.e	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
3	1, 2	umgrfen 16562	. . 3 |- ( G e. UMGraph -> E : dom E --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
4	3	ffvelcdmda 5846	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) e. { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
5		breq1 4134	. . . 4 |- ( x = ( E ` X ) -> ( x ~~ 2o <-> ( E ` X ) ~~ 2o ) )
6	5	elrab 2982	. . 3 |- ( ( E ` X ) e. { x e. ~P V | x ~~ 2o } <-> ( ( E ` X ) e. ~P V /\ ( E ` X ) ~~ 2o ) )
7	6	simprbi 275	. 2 |- ( ( E ` X ) e. { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> ( E ` X ) ~~ 2o )
8	4, 7	syl 14	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ X e. dom E ) -> ( E ` X ) ~~ 2o )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   ` cfv 5380   2oc2o 6686   ~~ cen 7026  Vtxcvtx 16467  iEdgciedg 16468  UMGraphcumgr 16547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8275  ax-resscn 8276  ax-1cn 8277  ax-1re 8278  ax-icn 8279  ax-addcl 8280  ax-addrcl 8281  ax-mulcl 8282  ax-addcom 8284  ax-mulcom 8285  ax-addass 8286  ax-mulass 8287  ax-distr 8288  ax-i2m1 8289  ax-1rid 8291  ax-0id 8292  ax-rnegex 8293  ax-cnre 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-sub 8505  df-inn 9313  df-2 9371  df-3 9372  df-4 9373  df-5 9374  df-6 9375  df-7 9376  df-8 9377  df-9 9378  df-n0 9574  df-dec 9787  df-ndx 13411  df-slot 13412  df-base 13414  df-edgf 16460  df-vtx 16469  df-iedg 16470  df-umgren 16549

This theorem is used by:  umgrnloopv  16569  umgredgprv  16570  usgredg2en  16650  subumgredg2en  16726  1hegrvtxdg1fi  16764