Theorem unicld 12274

Description: A finite union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
unicld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U. A e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem unicld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 3861	. 2 |- U. A = U_ x e. A x
2		dfss3 3082	. . 3 |- ( A C_ ( Clsd ` J ) <-> A. x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
3		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	iuncld 12273	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A x e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
5	2, 4	syl3an3b 1254	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
6	1, 5	eqeltrid 2224	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U. A e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   C_ wss 3066   U.cuni 3731   U_ciun 3808   ` cfv 5118   Fincfn 6627   Topctop 12153   Clsdccld 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-top 12154  df-cld 12253

This theorem is referenced by: (None)