Theorem unicld 12128

Description: A finite union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
unicld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U. A e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem unicld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 3832	. 2 |- U. A = U_ x e. A x
2		dfss3 3053	. . 3 |- ( A C_ ( Clsd ` J ) <-> A. x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
3		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	iuncld 12127	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A x e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
5	2, 4	syl3an3b 1237	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
6	1, 5	syl5eqel 2201	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U. A e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   C_ wss 3037   U.cuni 3702   U_ciun 3779   ` cfv 5081   Fincfn 6588   Topctop 12007   Clsdccld 12104

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-er 6383  df-en 6589  df-fin 6591  df-top 12008  df-cld 12107

This theorem is referenced by: (None)