Theorem unicld 15140

Description: A finite union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
unicld	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U. A e. ( Clsd ` J ) )

Proof of Theorem unicld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 4061	. 2 |- U. A = U_ x e. A x
2		dfss3 3236	. . 3 |- ( A C_ ( Clsd ` J ) <-> A. x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
3		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	iuncld 15139	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A x e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
5	2, 4	syl3an3b 1316	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A x e. ( Clsd ` J ) )
6	1, 5	eqeltrid 2325	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A C_ ( Clsd ` J ) ) -> U. A e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   U.cuni 3930   U_ciun 4007   ` cfv 5372   Fincfn 7012   Topctop 15021   Clsdccld 15116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-top 15022  df-cld 15119

This theorem is referenced by: (None)