Theorem uzidd 9597

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
uzidd	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzid 9596	. 2 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   ` cfv 5246   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-pre-ltirr 7974

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-ov 5913  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-neg 8183  df-z 9308  df-uz 9583

This theorem is referenced by:  seqfveqg  10539  gsumsplit1r  12971  gsumprval  12972