Theorem uzidd 9725

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
uzidd	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzid 9724	. 2 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5314   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-pre-ltirr 8099

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-ov 5997  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-neg 8308  df-z 9435  df-uz 9711

This theorem is referenced by:  seqfveqg  10687  ccatass  11129  ccatrn  11130  swrdccat2  11189  pfxccat1  11220  gsumsplit1r  13417  gsumprval  13418  gsumfzsnfd  13868  elply2  15394  dvply2g  15425