Theorem uzidd 9613

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
uzidd	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzid 9612	. 2 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5258   ZZcz 9323   ZZ>=cuz 9598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-pre-ltirr 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-neg 8198  df-z 9324  df-uz 9599

This theorem is referenced by:  seqfveqg  10555  gsumsplit1r  13017  gsumprval  13018  gsumfzsnfd  13451  elply2  14947