Theorem uzidd 9814

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
uzidd	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzid 9813	. 2 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5333   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-neg 8396  df-z 9523  df-uz 9799

This theorem is referenced by:  seqfveqg  10784  ccatass  11232  ccatrn  11233  swrdccat2  11299  pfxccat1  11330  gsumsplit1r  13542  gsumprval  13543  gsumfzsnfd  13993  elply2  15526  dvply2g  15557