Theorem uzidd 9868

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
uzidd	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		uzid 9867	. 2 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   ` cfv 5351   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-pre-ltirr 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-neg 8446  df-z 9577  df-uz 9853

This theorem is referenced by:  seqfveqg  10839  ccatass  11292  ccatrn  11293  swrdccat2  11359  pfxccat1  11390  gsumsplit1r  13603  gsumprval  13604  gsumfzsnfd  14054  elply2  15592  dvply2g  15623