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Theorem elply2 15417
Description: The coefficient function can be assumed to have zeroes outside 0 ... n. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
elply2 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   S, a, n   k, a, z, n   F, a, n
Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( z, k)
Proof of Theorem elply2
Dummy variables f x w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply 15416 . . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
2 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
3 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> S C_ CC )
4 cnex 8131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. _V
5 ssexg 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
63, 4, 5sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> S e. _V )
7 c0ex 8148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
87snex 4269 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 0 } e. _V
9 unexg 4534 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
106, 8, 9sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
11 nn0ex 9383 . . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
12 elmapg 6816 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
1310, 11, 12sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
142, 13mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
1514ffvelcdmda 5772 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( f ` x ) e. ( S u. { 0 } ) )
16 ssun2 3368 . . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
177snss 3803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
1816, 17mpbir 146 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
20 nn0z 9474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
2120adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> x e. ZZ )
22 0zd 9466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
23 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> n e. NN0 )
2423nn0zd 9575 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> n e. ZZ )
25 fzdcel 10244 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> DECID x e. ( 0 ... n ) )
2621, 22, 24, 25syl3anc 1271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> DECID x e. ( 0 ... n ) )
2715, 19, 26ifcldcd 3640 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
2827fmpttd 5792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
29 elmapg 6816 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
3010, 11, 29sylancl 413 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
3128, 30mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
32 mptima 5080 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) )
33 fznuz 10306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 ... n ) -> -. x e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
34 elinel2 3391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
3533, 34nsyl3 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> -. x e. ( 0 ... n ) )
3635iffalsed 3612 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) = 0 )
3736mpteq2ia 4170 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> 0 )
38 fconstmpt 4766 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> 0 )
3937, 38eqtr4i 2253 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } )
4039rneqi 4952 . . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } )
41 peano2nn0 9417 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
42 nn0z 9474 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
4342peano2zd 9580 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ZZ )
4443uzidd 9745 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
4541, 44elind 3389 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
46 elex2 2816 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> E. w w e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
47 rnxpm 5158 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = { 0 } )
4845, 46, 473syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = { 0 } )
4940, 48eqtrid 2274 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = { 0 } )
5032, 49eqtrid 2274 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
5150ad2antlr 489 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
52 eqidd 2230 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
53 imaeq1 5063 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
5453eqeq1d 2238 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } <-> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } ) )
55 fveq1 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( a ` k ) = ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) )
56 elfznn0 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
57 eleq1w 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( x e. ( 0 ... n ) <-> k e. ( 0 ... n ) ) )
58 fveq2 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( f ` x ) = ( f ` k ) )
5957, 58ifbieq1d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = k -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
60 eqid 2229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) )
61 vex 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- f e. _V
62 vex 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- k e. _V
6361, 62fvex 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f ` k ) e. _V
6463, 7ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) e. _V
6559, 60, 64fvmpt 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
6656, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
67 iftrue 3607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) = ( f ` k ) )
6866, 67eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = ( f ` k ) )
6955, 68sylan9eq 2282 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) = ( f ` k ) )
7069oveq1d 6022 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
7170sumeq2dv 11887 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
7271mpteq2dv 4175 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
7372eqeq2d 2241 . . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
7454, 73anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
7574rspcev 2907 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
7631, 51, 52, 75syl12anc 1269 . . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
77 eqeq1 2236 . . . . . . . . 9 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
7877anbi2d 464 . . . . . . . 8 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
7978rexbidv 2531 . . . . . . 7 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
8076, 79syl5ibrcom 157 . . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
8180rexlimdva 2648 . . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) -> ( E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
8281reximdva 2632 . . . 4 |- ( S C_ CC -> ( E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
8382imdistani 445 . . 3 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
841, 83sylbi 121 . 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
85 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
8685reximi 2627 . . . . 5 |- ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
8786reximi 2627 . . . 4 |- ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
8887anim2i 342 . . 3 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
89 elply 15416 . . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
9088, 89sylibr 134 . 2 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
9184, 90impbii 126 1 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   u. cun 3195   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ifcif 3602   {csn 3666   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   ran crn 4720   "cima 4722   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   CCcc 8005   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   x. cmul 8012   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   ZZ>=cuz 9730   ...cfz 10212   ^cexp 10768   sum_csu 11872  Polycply 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-map 6805  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-seqfrec 10678  df-sumdc 11873  df-ply 15412
This theorem is referenced by:  plyadd  15433  plymul  15434  plyco  15441  dvply2g  15448
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