Theorem elply2 14914

Description: The coefficient function can be assumed to have zeroes outside 0 ... n. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elply2	|- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   S, a, n   k, a, z, n   F, a, n

Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( z, k)

Proof of Theorem elply2

Dummy variables f x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 14913	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
2		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
3		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> S C_ CC )
4		cnex 7998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. _V
5		ssexg 4169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> S e. _V )
7		c0ex 8015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
8	7	snex 4215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 0 } e. _V
9		unexg 4475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
10	6, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
11		nn0ex 9249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
12		elmapg 6717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
14	2, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
15	14	ffvelcdmda 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( f ` x ) e. ( S u. { 0 } ) )
16		ssun2 3324	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
17	7	snss 3754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
18	16, 17	mpbir 146	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
20		nn0z 9340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> x e. ZZ )
22		0zd 9332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
23		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> n e. NN0 )
24	23	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> n e. ZZ )
25		fzdcel 10109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> DECID x e. ( 0 ... n ) )
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> DECID x e. ( 0 ... n ) )
27	15, 19, 26	ifcldcd 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
28	27	fmpttd 5714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
29		elmapg 6717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
30	10, 11, 29	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
31	28, 30	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
32		mptima 5018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) )
33		fznuz 10171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 ... n ) -> -. x e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
34		elinel2 3347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
35	33, 34	nsyl3 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> -. x e. ( 0 ... n ) )
36	35	iffalsed 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) = 0 )
37	36	mpteq2ia 4116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> 0 )
38		fconstmpt 4707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> 0 )
39	37, 38	eqtr4i 2217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } )
40	39	rneqi 4891	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } )
41		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
42		nn0z 9340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
43	42	peano2zd 9445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ZZ )
44	43	uzidd 9610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
45	41, 44	elind 3345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
46		elex2 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> E. w w e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
47		rnxpm 5096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = { 0 } )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = { 0 } )
49	40, 48	eqtrid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = { 0 } )
50	32, 49	eqtrid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
51	50	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
52		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
53		imaeq1 5001	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } <-> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } ) )
55		fveq1 5554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( a ` k ) = ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) )
56		elfznn0 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
57		eleq1w 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( x e. ( 0 ... n ) <-> k e. ( 0 ... n ) ) )
58		fveq2 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( f ` x ) = ( f ` k ) )
59	57, 58	ifbieq1d 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = k -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
60		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) )
61		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- f e. _V
62		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- k e. _V
63	61, 62	fvex 5575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f ` k ) e. _V
64	63, 7	ifex 4518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) e. _V
65	59, 60, 64	fvmpt 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
66	56, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
67		iftrue 3563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) = ( f ` k ) )
68	66, 67	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = ( f ` k ) )
69	55, 68	sylan9eq 2246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) = ( f ` k ) )
70	69	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
71	70	sumeq2dv 11514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
72	71	mpteq2dv 4121	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
73	72	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
74	54, 73	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
75	74	rspcev 2865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
76	31, 51, 52, 75	syl12anc 1247	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
77		eqeq1 2200	. . . . . . . . 9 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
79	78	rexbidv 2495	. . . . . . 7 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
80	76, 79	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
81	80	rexlimdva 2611	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) -> ( E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
82	81	reximdva 2596	. . . 4 |- ( S C_ CC -> ( E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
83	82	imdistani 445	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
84	1, 83	sylbi 121	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
85		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
86	85	reximi 2591	. . . . 5 |- ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
87	86	reximi 2591	. . . 4 |- ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
88	87	anim2i 342	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
89		elply 14913	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
90	88, 89	sylibr 134	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
91	84, 90	impbii 126	1 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   u. cun 3152   i^i cin 3153   C_ wss 3154   ifcif 3558   {csn 3619   |-> cmpt 4091   X. cxp 4658   ran crn 4661   "cima 4663   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   ^cexp 10612   sum_csu 11499  Polycply 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-sumdc 11500  df-ply 14909

This theorem is referenced by:  plyadd  14930  plymul  14931  plyco  14937