Theorem elply2 15488

Description: The coefficient function can be assumed to have zeroes outside 0 ... n. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elply2	|- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   S, a, n   k, a, z, n   F, a, n

Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( z, k)

Proof of Theorem elply2

Dummy variables f x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 15487	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
2		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
3		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> S C_ CC )
4		cnex 8161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. _V
5		ssexg 4229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> S e. _V )
7		c0ex 8178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
8	7	snex 4277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 0 } e. _V
9		unexg 4542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
10	6, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
11		nn0ex 9413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
12		elmapg 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
14	2, 13	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> f : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
15	14	ffvelcdmda 5785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( f ` x ) e. ( S u. { 0 } ) )
16		ssun2 3370	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
17	7	snss 3809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
18	16, 17	mpbir 146	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
20		nn0z 9504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> x e. ZZ )
22		0zd 9496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
23		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> n e. NN0 )
24	23	nn0zd 9605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> n e. ZZ )
25		fzdcel 10280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> DECID x e. ( 0 ... n ) )
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> DECID x e. ( 0 ... n ) )
27	15, 19, 26	ifcldcd 3644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) /\ x e. NN0 ) -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
28	27	fmpttd 5805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
29		elmapg 6835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
30	10, 11, 29	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
31	28, 30	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
32		mptima 5090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) )
33		fznuz 10342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 ... n ) -> -. x e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
34		elinel2 3393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
35	33, 34	nsyl3 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> -. x e. ( 0 ... n ) )
36	35	iffalsed 3616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) = 0 )
37	36	mpteq2ia 4176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> 0 )
38		fconstmpt 4775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> 0 )
39	37, 38	eqtr4i 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } )
40	39	rneqi 4962	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } )
41		peano2nn0 9447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
42		nn0z 9504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
43	42	peano2zd 9610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ZZ )
44	43	uzidd 9776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
45	41, 44	elind 3391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
46		elex2 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> E. w w e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
47		rnxpm 5168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w w e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = { 0 } )
48	45, 46, 47	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ran ( ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) X. { 0 } ) = { 0 } )
49	40, 48	eqtrid 2275	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ran ( x e. ( NN0 i^i ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = { 0 } )
50	32, 49	eqtrid 2275	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
51	50	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
52		eqidd 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
53		imaeq1 5073	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } <-> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } ) )
55		fveq1 5641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( a ` k ) = ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) )
56		elfznn0 10354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
57		eleq1w 2291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( x e. ( 0 ... n ) <-> k e. ( 0 ... n ) ) )
58		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( f ` x ) = ( f ` k ) )
59	57, 58	ifbieq1d 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = k -> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
60		eqid 2230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) )
61		vex 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- f e. _V
62		vex 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- k e. _V
63	61, 62	fvex 5662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f ` k ) e. _V
64	63, 7	ifex 4585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) e. _V
65	59, 60, 64	fvmpt 5726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
66	56, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) )
67		iftrue 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> if ( k e. ( 0 ... n ) , ( f ` k ) , 0 ) = ( f ` k ) )
68	66, 67	eqtrd 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) ` k ) = ( f ` k ) )
69	55, 68	sylan9eq 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) = ( f ` k ) )
70	69	oveq1d 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
71	70	sumeq2dv 11951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
72	71	mpteq2dv 4181	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
73	72	eqeq2d 2242	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
74	54, 73	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
75	74	rspcev 2909	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) /\ ( ( ( x e. NN0 |-> if ( x e. ( 0 ... n ) , ( f ` x ) , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
76	31, 51, 52, 75	syl12anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
77		eqeq1 2237	. . . . . . . . 9 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
78	77	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
79	78	rexbidv 2532	. . . . . . 7 |- ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
80	76, 79	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) /\ f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) -> ( F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
81	80	rexlimdva 2649	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ n e. NN0 ) -> ( E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
82	81	reximdva 2633	. . . 4 |- ( S C_ CC -> ( E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
83	82	imdistani 445	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. f e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( f ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
84	1, 83	sylbi 121	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
85		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
86	85	reximi 2628	. . . . 5 |- ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
87	86	reximi 2628	. . . 4 |- ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
88	87	anim2i 342	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
89		elply 15487	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
90	88, 89	sylibr 134	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
91	84, 90	impbii 126	1 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2201   E.wrex 2510   _Vcvv 2801   u. cun 3197   i^i cin 3198   C_ wss 3199   ifcif 3604   {csn 3670   |-> cmpt 4151   X. cxp 4725   ran crn 4728   "cima 4730   -->wf 5324   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822   CCcc 8035   0cc0 8037   1c1 8038   + caddc 8040   x. cmul 8042   NN0cn0 9407   ZZcz 9484   ZZ>=cuz 9760   ...cfz 10248   ^cexp 10806   sum_csu 11936  Polycply 15481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-map 6824  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-seqfrec 10716  df-sumdc 11937  df-ply 15483

This theorem is referenced by:  plyadd  15504  plymul  15505  plyco  15512  dvply2g  15519