Theorem seqfveqg 10572

Description: Equality of sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfveq.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqfveq.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
seqfveqg.p	|- ( ph -> .+ e. V )
seqfveqg.f	|- ( ph -> F e. W )
seqfveqg.g	|- ( ph -> G e. X )

Assertion

Ref	Expression
seqfveqg	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   V( k)   W( k)   X( k)

Proof of Theorem seqfveqg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfveq.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9608	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4	3	uzidd 9618	. 2 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
5		seqfveqg.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. W )
6		seqfveqg.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. V )
7		seq1g 10557	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. W /\ .+ e. V ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
9		fveq2 5559	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
10		fveq2 5559	. . . . 5 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
11	9, 10	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` k ) <-> ( F ` M ) = ( G ` M ) ) )
12		seqfveq.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
13	12	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` k ) )
14		eluzfz1 10108	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
15	1, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
16	11, 13, 15	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` M ) )
17	8, 16	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( G ` M ) )
18		seqfveqg.g	. 2 |- ( ph -> G e. X )
19		fzp1ss 10150	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
20	3, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
21	20	sselda 3184	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
22	21, 12	syldan 282	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` k ) )
23	4, 17, 6, 5, 18, 1, 22	seqfveq2g 10571	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   1c1 7882   + caddc 7884   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   ...cfz 10085   seqcseq 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-seqfrec 10542

This theorem is referenced by:  seqf1oglem2  10614  seqf1og  10615