Theorem uzn0 8927

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0	|- ( M e. ran ZZ>= -> M =/= (/) )

Proof of Theorem uzn0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 8915	. . 3 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2		ffn 5112	. . 3 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
3		fvelrnb 5295	. . 3 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( M e. ran ZZ>= <-> E. k e. ZZ ( ZZ>= ` k ) = M ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( M e. ran ZZ>= <-> E. k e. ZZ ( ZZ>= ` k ) = M )
5		uzid 8926	. . . . 5 |- ( k e. ZZ -> k e. ( ZZ>= ` k ) )
6		ne0i 3275	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` k ) -> ( ZZ>= ` k ) =/= (/) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( k e. ZZ -> ( ZZ>= ` k ) =/= (/) )
8		neeq1 2262	. . . 4 |- ( ( ZZ>= ` k ) = M -> ( ( ZZ>= ` k ) =/= (/) <-> M =/= (/) ) )
9	7, 8	syl5ibcom 153	. . 3 |- ( k e. ZZ -> ( ( ZZ>= ` k ) = M -> M =/= (/) ) )
10	9	rexlimiv 2477	. 2 |- ( E. k e. ZZ ( ZZ>= ` k ) = M -> M =/= (/) )
11	4, 10	sylbi 119	1 |- ( M e. ran ZZ>= -> M =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   =/= wne 2249   E.wrex 2354   (/)c0 3269   ~Pcpw 3406   ran crn 4400   Fn wfn 4962   -->wf 4963   ` cfv 4967   ZZcz 8644   ZZ>=cuz 8912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-pre-ltirr 7358

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-ov 5592  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-neg 7557  df-z 8645  df-uz 8913

This theorem is referenced by: (None)