Theorem uzid 9476

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9191	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8408	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 321	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9466	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 166	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   ` cfv 5187   <_ cle 7930   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltirr 7861

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-neg 8068  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  uzn0  9477  uz11  9484  eluzfz1  9962  eluzfz2  9963  elfz3  9965  elfz1end  9986  fzssp1  9998  fzpred  10001  fzp1ss  10004  fzpr  10008  fztp  10009  elfz0add  10051  fzolb  10084  zpnn0elfzo  10138  fzosplitsnm1  10140  fzofzp1  10158  fzosplitsn  10164  fzostep1  10168  frec2uzuzd  10333  frecuzrdgrrn  10339  frec2uzrdg  10340  frecuzrdgrcl  10341  frecuzrdgsuc  10345  frecuzrdgrclt  10346  frecuzrdgg  10347  frecuzrdgsuctlem  10354  uzsinds  10373  seq3val  10389  seqvalcd  10390  seq3-1  10391  seqf  10392  seq3p1  10393  seq3fveq  10402  seq3-1p  10411  seq3caopr3  10412  iseqf1olemjpcl  10426  iseqf1olemqpcl  10427  seq3f1oleml  10434  seq3f1o  10435  seq3homo  10441  faclbnd3  10652  bcm1k  10669  bcn2  10673  seq3coll  10751  rexuz3  10928  r19.2uz  10931  resqrexlemcvg  10957  resqrexlemgt0  10958  resqrexlemoverl  10959  cau3lem  11052  caubnd2  11055  climconst  11227  climuni  11230  climcau  11284  serf0  11289  fsumparts  11407  isum1p  11429  isumrpcl  11431  cvgratz  11469  mertenslemi1  11472  ntrivcvgap0  11486  fprodabs  11553  eftlub  11627  zsupcllemstep  11874  zsupcllemex  11875  ialgr0  11972  eucalg  11987  pw2dvds  12094  eulerthlemrprm  12157  oddprm  12187  pcfac  12276  pcbc  12277  ennnfonelem1  12336  lmconst  12816  2logb9irr  13489  sqrt2cxp2logb9e3  13493  2logb9irrap  13495  cvgcmp2nlemabs  13871  trilpolemlt1  13880