Theorem uzid 9748

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9461	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8672	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9737	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   <_ cle 8193   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltirr 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by:  uzidd  9749  uzn0  9750  uz11  9757  eluzfz1  10239  eluzfz2  10240  elfz3  10242  elfz1end  10263  fzssp1  10275  fzpred  10278  fzp1ss  10281  fzpr  10285  fztp  10286  elfz0add  10328  fzolb  10362  zpnn0elfzo  10425  fzosplitsnm1  10427  fzofzp1  10445  fzosplitsn  10451  fzostep1  10455  zsupcllemstep  10461  zsupcllemex  10462  frec2uzuzd  10636  frecuzrdgrrn  10642  frec2uzrdg  10643  frecuzrdgrcl  10644  frecuzrdgsuc  10648  frecuzrdgrclt  10649  frecuzrdgg  10650  frecuzrdgsuctlem  10657  uzsinds  10678  seq3val  10694  seqvalcd  10695  seq3-1  10696  seqf  10698  seq3p1  10699  seq3fveq  10713  seq3-1p  10724  seq3caopr3  10725  iseqf1olemjpcl  10742  iseqf1olemqpcl  10743  seq3f1oleml  10750  seq3f1o  10751  seq3homo  10761  faclbnd3  10977  bcm1k  10994  bcn2  10998  seq3coll  11077  swrds1  11216  pfxccatpfx2  11285  rexuz3  11517  r19.2uz  11520  resqrexlemcvg  11546  resqrexlemgt0  11547  resqrexlemoverl  11548  cau3lem  11641  caubnd2  11644  climconst  11817  climuni  11820  climcau  11874  serf0  11879  fsumparts  11997  isum1p  12019  isumrpcl  12021  cvgratz  12059  mertenslemi1  12062  ntrivcvgap0  12076  fprodabs  12143  eftlub  12217  bitsfzo  12482  bitsinv1  12489  ialgr0  12582  eucalg  12597  pw2dvds  12704  eulerthlemrprm  12767  oddprm  12798  pcfac  12889  pcbc  12890  ennnfonelem1  12994  gsumfzconst  13894  lmconst  14906  2logb9irr  15661  sqrt2cxp2logb9e3  15665  2logb9irrap  15667  lgseisenlem4  15768  lgsquadlem1  15772  lgsquad2  15778  cvgcmp2nlemabs  16488  trilpolemlt1  16497