Theorem uzid 9813

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9526	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8737	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9802	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   <_ cle 8258   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-neg 8396  df-z 9523  df-uz 9799

This theorem is referenced by:  uzidd  9814  uzn0  9815  uz11  9822  eluzfz1  10309  eluzfz2  10310  elfz3  10312  elfz1end  10333  fzssp1  10345  fzpred  10348  fzp1ss  10351  fzpr  10355  fztp  10356  elfz0add  10398  fzolb  10432  zpnn0elfzo  10496  fzosplitsnm1  10498  fzofzp1  10516  fzosplitsn  10522  fzostep1  10527  zsupcllemstep  10533  zsupcllemex  10534  frec2uzuzd  10708  frecuzrdgrrn  10714  frec2uzrdg  10715  frecuzrdgrcl  10716  frecuzrdgsuc  10720  frecuzrdgrclt  10721  frecuzrdgg  10722  frecuzrdgsuctlem  10729  uzsinds  10750  seq3val  10766  seqvalcd  10767  seq3-1  10768  seqf  10770  seq3p1  10771  seq3fveq  10785  seq3-1p  10796  seq3caopr3  10797  iseqf1olemjpcl  10814  iseqf1olemqpcl  10815  seq3f1oleml  10822  seq3f1o  10823  seq3homo  10833  faclbnd3  11049  bcm1k  11066  bcn2  11070  seq3coll  11150  swrds1  11296  pfxccatpfx2  11365  rexuz3  11611  r19.2uz  11614  resqrexlemcvg  11640  resqrexlemgt0  11641  resqrexlemoverl  11642  cau3lem  11735  caubnd2  11738  climconst  11911  climuni  11914  climcau  11968  serf0  11973  fsumparts  12092  isum1p  12114  isumrpcl  12116  cvgratz  12154  mertenslemi1  12157  ntrivcvgap0  12171  fprodabs  12238  eftlub  12312  bitsfzo  12577  bitsinv1  12584  ialgr0  12677  eucalg  12692  pw2dvds  12799  eulerthlemrprm  12862  oddprm  12893  pcfac  12984  pcbc  12985  ennnfonelem1  13089  gsumfzconst  13989  lmconst  15007  2logb9irr  15762  sqrt2cxp2logb9e3  15766  2logb9irrap  15768  lgseisenlem4  15869  lgsquadlem1  15873  lgsquad2  15879  cvgcmp2nlemabs  16741  trilpolemlt1  16750