Theorem uzid 9536

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9251	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8465	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9526	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4001   ` cfv 5213   <_ cle 7987   ZZcz 9247   ZZ>=cuz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-pre-ltirr 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-ov 5873  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-neg 8125  df-z 9248  df-uz 9523

This theorem is referenced by:  uzn0  9537  uz11  9544  eluzfz1  10024  eluzfz2  10025  elfz3  10027  elfz1end  10048  fzssp1  10060  fzpred  10063  fzp1ss  10066  fzpr  10070  fztp  10071  elfz0add  10113  fzolb  10146  zpnn0elfzo  10200  fzosplitsnm1  10202  fzofzp1  10220  fzosplitsn  10226  fzostep1  10230  frec2uzuzd  10395  frecuzrdgrrn  10401  frec2uzrdg  10402  frecuzrdgrcl  10403  frecuzrdgsuc  10407  frecuzrdgrclt  10408  frecuzrdgg  10409  frecuzrdgsuctlem  10416  uzsinds  10435  seq3val  10451  seqvalcd  10452  seq3-1  10453  seqf  10454  seq3p1  10455  seq3fveq  10464  seq3-1p  10473  seq3caopr3  10474  iseqf1olemjpcl  10488  iseqf1olemqpcl  10489  seq3f1oleml  10496  seq3f1o  10497  seq3homo  10503  faclbnd3  10714  bcm1k  10731  bcn2  10735  seq3coll  10813  rexuz3  10990  r19.2uz  10993  resqrexlemcvg  11019  resqrexlemgt0  11020  resqrexlemoverl  11021  cau3lem  11114  caubnd2  11117  climconst  11289  climuni  11292  climcau  11346  serf0  11351  fsumparts  11469  isum1p  11491  isumrpcl  11493  cvgratz  11531  mertenslemi1  11534  ntrivcvgap0  11548  fprodabs  11615  eftlub  11689  zsupcllemstep  11936  zsupcllemex  11937  ialgr0  12034  eucalg  12049  pw2dvds  12156  eulerthlemrprm  12219  oddprm  12249  pcfac  12338  pcbc  12339  ennnfonelem1  12398  lmconst  13498  2logb9irr  14171  sqrt2cxp2logb9e3  14175  2logb9irrap  14177  cvgcmp2nlemabs  14551  trilpolemlt1  14560