Theorem uzid 9952

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9659	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8849	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9941	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   <_ cle 8367   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  uzidd  9953  uzn0  9954  uz11  9961  eluzfz1  10452  eluzfz2  10453  elfz3  10455  elfz1end  10478  fzssp1  10490  fzpred  10494  fzp1ss  10497  fzpr  10501  fztp  10502  elfz0add  10544  fzolb  10578  zpnn0elfzo  10642  fzosplitsnm1  10644  fzofzp1  10662  fzosplitsn  10668  fzostep1  10673  zsupcllemstep  10679  zsupcllemex  10680  frec2uzuzd  10860  frecuzrdgrrn  10866  frec2uzrdg  10867  frecuzrdgrcl  10868  frecuzrdgsuc  10872  frecuzrdgrclt  10873  frecuzrdgg  10874  frecuzrdgsuctlem  10881  uzsinds  10902  seq3val  10918  seqvalcd  10919  seq3-1  10920  seqf  10922  seq3p1  10923  seq3fveq  10937  seq3-1p  10948  seq3caopr3  10949  iseqf1olemjpcl  10966  iseqf1olemqpcl  10967  seq3f1oleml  10974  seq3f1o  10975  seq3homo  10985  faclbnd3  11203  bcm1k  11220  bcn2  11224  seq3coll  11316  swrds1  11462  pfxccatpfx2  11531  rexuz3  11778  r19.2uz  11781  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemgt0  11808  resqrexlemoverl  11809  cau3lem  11903  caubnd2  11906  climconst  12081  climuni  12084  climcau  12138  serf0  12143  fsumparts  12262  isum1p  12284  isumrpcl  12286  cvgratz  12324  mertenslemi1  12327  ntrivcvgap0  12341  fprodabs  12408  eftlub  12482  bitsfzo  12747  bitsinv1  12754  ialgr0  12847  eucalg  12862  oddpwdc  12979  eulerthlemrprm  13036  oddprm  13067  pcfac  13158  pcbc  13159  prmlem0  13249  ballotfilemfp1  13289  ennnfonelem1  13356  gzsumconst  14233  lmconst  15442  2logb9irr  16207  sqrt2cxp2logb9e3  16211  2logb9irrap  16213  ppinprm  16260  chtnprm  16262  ppiublem1  16291  chtqub  16296  bposlem6  16316  lgseisenlem4  16397  lgsquadlem1  16401  lgsquad2  16407  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemlt1  17297