Theorem uzid 9831

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9544	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8753	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9820	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  uzidd  9832  uzn0  9833  uz11  9840  eluzfz1  10328  eluzfz2  10329  elfz3  10331  elfz1end  10352  fzssp1  10364  fzpred  10367  fzp1ss  10370  fzpr  10374  fztp  10375  elfz0add  10417  fzolb  10451  zpnn0elfzo  10515  fzosplitsnm1  10517  fzofzp1  10535  fzosplitsn  10541  fzostep1  10546  zsupcllemstep  10552  zsupcllemex  10553  frec2uzuzd  10727  frecuzrdgrrn  10733  frec2uzrdg  10734  frecuzrdgrcl  10735  frecuzrdgsuc  10739  frecuzrdgrclt  10740  frecuzrdgg  10741  frecuzrdgsuctlem  10748  uzsinds  10769  seq3val  10785  seqvalcd  10786  seq3-1  10787  seqf  10789  seq3p1  10790  seq3fveq  10804  seq3-1p  10815  seq3caopr3  10816  iseqf1olemjpcl  10833  iseqf1olemqpcl  10834  seq3f1oleml  10841  seq3f1o  10842  seq3homo  10852  faclbnd3  11068  bcm1k  11085  bcn2  11089  seq3coll  11169  swrds1  11315  pfxccatpfx2  11384  rexuz3  11630  r19.2uz  11633  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemgt0  11660  resqrexlemoverl  11661  cau3lem  11754  caubnd2  11757  climconst  11930  climuni  11933  climcau  11987  serf0  11992  fsumparts  12111  isum1p  12133  isumrpcl  12135  cvgratz  12173  mertenslemi1  12176  ntrivcvgap0  12190  fprodabs  12257  eftlub  12331  bitsfzo  12596  bitsinv1  12603  ialgr0  12696  eucalg  12711  pw2dvds  12818  eulerthlemrprm  12881  oddprm  12912  pcfac  13003  pcbc  13004  ennnfonelem1  13108  gsumfzconst  14008  lmconst  15027  2logb9irr  15782  sqrt2cxp2logb9e3  15786  2logb9irrap  15788  lgseisenlem4  15892  lgsquadlem1  15896  lgsquad2  15902  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemlt1  16773