Theorem uzid 9936

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9648	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8842	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9925	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  uzidd  9937  uzn0  9938  uz11  9945  eluzfz1  10435  eluzfz2  10436  elfz3  10438  elfz1end  10461  fzssp1  10473  fzpred  10477  fzp1ss  10480  fzpr  10484  fztp  10485  elfz0add  10527  fzolb  10561  zpnn0elfzo  10625  fzosplitsnm1  10627  fzofzp1  10645  fzosplitsn  10651  fzostep1  10656  zsupcllemstep  10662  zsupcllemex  10663  frec2uzuzd  10839  frecuzrdgrrn  10845  frec2uzrdg  10846  frecuzrdgrcl  10847  frecuzrdgsuc  10851  frecuzrdgrclt  10852  frecuzrdgg  10853  frecuzrdgsuctlem  10860  uzsinds  10881  seq3val  10897  seqvalcd  10898  seq3-1  10899  seqf  10901  seq3p1  10902  seq3fveq  10916  seq3-1p  10927  seq3caopr3  10928  iseqf1olemjpcl  10945  iseqf1olemqpcl  10946  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  seq3homo  10964  faclbnd3  11181  bcm1k  11198  bcn2  11202  seq3coll  11294  swrds1  11440  pfxccatpfx2  11509  rexuz3  11756  r19.2uz  11759  resqrexlemcvg  11785  resqrexlemgt0  11786  resqrexlemoverl  11787  cau3lem  11880  caubnd2  11883  climconst  12056  climuni  12059  climcau  12113  serf0  12118  fsumparts  12237  isum1p  12259  isumrpcl  12261  cvgratz  12299  mertenslemi1  12302  ntrivcvgap0  12316  fprodabs  12383  eftlub  12457  bitsfzo  12722  bitsinv1  12729  ialgr0  12822  eucalg  12837  pw2dvds  12944  eulerthlemrprm  13007  oddprm  13038  pcfac  13129  pcbc  13130  ballotfilemfp1  13231  ennnfonelem1  13298  gzsumconst  14143  lmconst  15317  2logb9irr  16073  sqrt2cxp2logb9e3  16077  2logb9irrap  16079  lgseisenlem4  16192  lgsquadlem1  16196  lgsquad2  16202  cvgcmp2nlemabs  17081  trilpolemlt1  17090