Theorem uzid 9769

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9482	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8693	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9758	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   <_ cle 8214   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-neg 8352  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  uzidd  9770  uzn0  9771  uz11  9778  eluzfz1  10265  eluzfz2  10266  elfz3  10268  elfz1end  10289  fzssp1  10301  fzpred  10304  fzp1ss  10307  fzpr  10311  fztp  10312  elfz0add  10354  fzolb  10388  zpnn0elfzo  10451  fzosplitsnm1  10453  fzofzp1  10471  fzosplitsn  10477  fzostep1  10482  zsupcllemstep  10488  zsupcllemex  10489  frec2uzuzd  10663  frecuzrdgrrn  10669  frec2uzrdg  10670  frecuzrdgrcl  10671  frecuzrdgsuc  10675  frecuzrdgrclt  10676  frecuzrdgg  10677  frecuzrdgsuctlem  10684  uzsinds  10705  seq3val  10721  seqvalcd  10722  seq3-1  10723  seqf  10725  seq3p1  10726  seq3fveq  10740  seq3-1p  10751  seq3caopr3  10752  iseqf1olemjpcl  10769  iseqf1olemqpcl  10770  seq3f1oleml  10777  seq3f1o  10778  seq3homo  10788  faclbnd3  11004  bcm1k  11021  bcn2  11025  seq3coll  11105  swrds1  11248  pfxccatpfx2  11317  rexuz3  11550  r19.2uz  11553  resqrexlemcvg  11579  resqrexlemgt0  11580  resqrexlemoverl  11581  cau3lem  11674  caubnd2  11677  climconst  11850  climuni  11853  climcau  11907  serf0  11912  fsumparts  12030  isum1p  12052  isumrpcl  12054  cvgratz  12092  mertenslemi1  12095  ntrivcvgap0  12109  fprodabs  12176  eftlub  12250  bitsfzo  12515  bitsinv1  12522  ialgr0  12615  eucalg  12630  pw2dvds  12737  eulerthlemrprm  12800  oddprm  12831  pcfac  12922  pcbc  12923  ennnfonelem1  13027  gsumfzconst  13927  lmconst  14939  2logb9irr  15694  sqrt2cxp2logb9e3  15698  2logb9irrap  15700  lgseisenlem4  15801  lgsquadlem1  15805  lgsquad2  15811  cvgcmp2nlemabs  16636  trilpolemlt1  16645