Theorem uzid 9951

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9657	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8849	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9940	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   <_ cle 8367   ZZcz 9653   ZZ>=cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  uzidd  9952  uzn0  9953  uz11  9960  eluzfz1  10451  eluzfz2  10452  elfz3  10454  elfz1end  10477  fzssp1  10489  fzpred  10493  fzp1ss  10496  fzpr  10500  fztp  10501  elfz0add  10543  fzolb  10577  zpnn0elfzo  10641  fzosplitsnm1  10643  fzofzp1  10661  fzosplitsn  10667  fzostep1  10672  zsupcllemstep  10678  zsupcllemex  10679  frec2uzuzd  10859  frecuzrdgrrn  10865  frec2uzrdg  10866  frecuzrdgrcl  10867  frecuzrdgsuc  10871  frecuzrdgrclt  10872  frecuzrdgg  10873  frecuzrdgsuctlem  10880  uzsinds  10901  seq3val  10917  seqvalcd  10918  seq3-1  10919  seqf  10921  seq3p1  10922  seq3fveq  10936  seq3-1p  10947  seq3caopr3  10948  iseqf1olemjpcl  10965  iseqf1olemqpcl  10966  seq3f1oleml  10973  seq3f1o  10974  seq3homo  10984  faclbnd3  11202  bcm1k  11219  bcn2  11223  seq3coll  11315  swrds1  11461  pfxccatpfx2  11530  rexuz3  11777  r19.2uz  11780  resqrexlemcvg  11806  resqrexlemgt0  11807  resqrexlemoverl  11808  cau3lem  11902  caubnd2  11905  climconst  12080  climuni  12083  climcau  12137  serf0  12142  fsumparts  12261  isum1p  12283  isumrpcl  12285  cvgratz  12323  mertenslemi1  12326  ntrivcvgap0  12340  fprodabs  12407  eftlub  12481  bitsfzo  12746  bitsinv1  12753  ialgr0  12846  eucalg  12861  oddpwdc  12978  eulerthlemrprm  13035  oddprm  13066  pcfac  13157  pcbc  13158  prmlem0  13248  ballotfilemfp1  13288  ennnfonelem1  13355  gzsumconst  14232  lmconst  15459  2logb9irr  16224  sqrt2cxp2logb9e3  16228  2logb9irrap  16230  ppinprm  16277  chtnprm  16279  ppiublem1  16308  chtqub  16313  bposlem6  16333  lgseisenlem4  16414  lgsquadlem1  16418  lgsquad2  16424  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemlt1  17314