ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzid Unicode version

Theorem uzid 9308
Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzid  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem uzid
StepHypRef Expression
1 zre 9026 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
21leidd 8244 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  <_  M )
32ancli 321 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M ) )
4 eluz1 9298 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M ) ) )
53, 4mpbird 166 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093    <_ cle 7769   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  uzn0  9309  uz11  9316  eluzfz1  9779  eluzfz2  9780  elfz3  9782  elfz1end  9803  fzssp1  9815  fzpred  9818  fzp1ss  9821  fzpr  9825  fztp  9826  elfz0add  9868  fzolb  9898  zpnn0elfzo  9952  fzosplitsnm1  9954  fzofzp1  9972  fzosplitsn  9978  fzostep1  9982  frec2uzuzd  10143  frecuzrdgrrn  10149  frec2uzrdg  10150  frecuzrdgrcl  10151  frecuzrdgsuc  10155  frecuzrdgrclt  10156  frecuzrdgg  10157  frecuzrdgsuctlem  10164  uzsinds  10183  seq3val  10199  seqvalcd  10200  seq3-1  10201  seqf  10202  seq3p1  10203  seq3fveq  10212  seq3-1p  10221  seq3caopr3  10222  iseqf1olemjpcl  10236  iseqf1olemqpcl  10237  seq3f1oleml  10244  seq3f1o  10245  seq3homo  10251  faclbnd3  10457  bcm1k  10474  bcn2  10478  seq3coll  10553  rexuz3  10730  r19.2uz  10733  resqrexlemcvg  10759  resqrexlemgt0  10760  resqrexlemoverl  10761  cau3lem  10854  caubnd2  10857  climconst  11027  climuni  11030  climcau  11084  serf0  11089  fsumparts  11207  isum1p  11229  isumrpcl  11231  cvgratz  11269  mertenslemi1  11272  eftlub  11323  zsupcllemstep  11565  zsupcllemex  11566  ialgr0  11652  eucalg  11667  pw2dvds  11771  ennnfonelem1  11847  lmconst  12312  cvgcmp2nlemabs  13154  trilpolemlt1  13161
  Copyright terms: Public domain W3C validator