Theorem uzid 9615

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9330	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8541	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9605	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  uzidd  9616  uzn0  9617  uz11  9624  eluzfz1  10106  eluzfz2  10107  elfz3  10109  elfz1end  10130  fzssp1  10142  fzpred  10145  fzp1ss  10148  fzpr  10152  fztp  10153  elfz0add  10195  fzolb  10229  zpnn0elfzo  10283  fzosplitsnm1  10285  fzofzp1  10303  fzosplitsn  10309  fzostep1  10313  zsupcllemstep  10319  zsupcllemex  10320  frec2uzuzd  10494  frecuzrdgrrn  10500  frec2uzrdg  10501  frecuzrdgrcl  10502  frecuzrdgsuc  10506  frecuzrdgrclt  10507  frecuzrdgg  10508  frecuzrdgsuctlem  10515  uzsinds  10536  seq3val  10552  seqvalcd  10553  seq3-1  10554  seqf  10556  seq3p1  10557  seq3fveq  10571  seq3-1p  10582  seq3caopr3  10583  iseqf1olemjpcl  10600  iseqf1olemqpcl  10601  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  seq3homo  10619  faclbnd3  10835  bcm1k  10852  bcn2  10856  seq3coll  10934  rexuz3  11155  r19.2uz  11158  resqrexlemcvg  11184  resqrexlemgt0  11185  resqrexlemoverl  11186  cau3lem  11279  caubnd2  11282  climconst  11455  climuni  11458  climcau  11512  serf0  11517  fsumparts  11635  isum1p  11657  isumrpcl  11659  cvgratz  11697  mertenslemi1  11700  ntrivcvgap0  11714  fprodabs  11781  eftlub  11855  bitsfzo  12119  ialgr0  12212  eucalg  12227  pw2dvds  12334  eulerthlemrprm  12397  oddprm  12428  pcfac  12519  pcbc  12520  ennnfonelem1  12624  gsumfzconst  13471  lmconst  14452  2logb9irr  15207  sqrt2cxp2logb9e3  15211  2logb9irrap  15213  lgseisenlem4  15314  lgsquadlem1  15318  lgsquad2  15324  cvgcmp2nlemabs  15676  trilpolemlt1  15685