ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzid Unicode version

Theorem uzid 9347
Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uzid  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem uzid
StepHypRef Expression
1 zre 9065 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
21leidd 8283 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  <_  M )
32ancli 321 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M ) )
4 eluz1 9337 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  M ) ) )
53, 4mpbird 166 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123    <_ cle 7808   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltirr 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-neg 7943  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  uzn0  9348  uz11  9355  eluzfz1  9818  eluzfz2  9819  elfz3  9821  elfz1end  9842  fzssp1  9854  fzpred  9857  fzp1ss  9860  fzpr  9864  fztp  9865  elfz0add  9907  fzolb  9937  zpnn0elfzo  9991  fzosplitsnm1  9993  fzofzp1  10011  fzosplitsn  10017  fzostep1  10021  frec2uzuzd  10182  frecuzrdgrrn  10188  frec2uzrdg  10189  frecuzrdgrcl  10190  frecuzrdgsuc  10194  frecuzrdgrclt  10195  frecuzrdgg  10196  frecuzrdgsuctlem  10203  uzsinds  10222  seq3val  10238  seqvalcd  10239  seq3-1  10240  seqf  10241  seq3p1  10242  seq3fveq  10251  seq3-1p  10260  seq3caopr3  10261  iseqf1olemjpcl  10275  iseqf1olemqpcl  10276  seq3f1oleml  10283  seq3f1o  10284  seq3homo  10290  faclbnd3  10496  bcm1k  10513  bcn2  10517  seq3coll  10592  rexuz3  10769  r19.2uz  10772  resqrexlemcvg  10798  resqrexlemgt0  10799  resqrexlemoverl  10800  cau3lem  10893  caubnd2  10896  climconst  11066  climuni  11069  climcau  11123  serf0  11128  fsumparts  11246  isum1p  11268  isumrpcl  11270  cvgratz  11308  mertenslemi1  11311  ntrivcvgap0  11325  eftlub  11403  zsupcllemstep  11645  zsupcllemex  11646  ialgr0  11732  eucalg  11747  pw2dvds  11851  ennnfonelem1  11927  lmconst  12395  cvgcmp2nlemabs  13257  trilpolemlt1  13264
  Copyright terms: Public domain W3C validator