Theorem uzid 9770

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9483	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8694	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9759	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   <_ cle 8215   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  uzidd  9771  uzn0  9772  uz11  9779  eluzfz1  10266  eluzfz2  10267  elfz3  10269  elfz1end  10290  fzssp1  10302  fzpred  10305  fzp1ss  10308  fzpr  10312  fztp  10313  elfz0add  10355  fzolb  10389  zpnn0elfzo  10453  fzosplitsnm1  10455  fzofzp1  10473  fzosplitsn  10479  fzostep1  10484  zsupcllemstep  10490  zsupcllemex  10491  frec2uzuzd  10665  frecuzrdgrrn  10671  frec2uzrdg  10672  frecuzrdgrcl  10673  frecuzrdgsuc  10677  frecuzrdgrclt  10678  frecuzrdgg  10679  frecuzrdgsuctlem  10686  uzsinds  10707  seq3val  10723  seqvalcd  10724  seq3-1  10725  seqf  10727  seq3p1  10728  seq3fveq  10742  seq3-1p  10753  seq3caopr3  10754  iseqf1olemjpcl  10771  iseqf1olemqpcl  10772  seq3f1oleml  10779  seq3f1o  10780  seq3homo  10790  faclbnd3  11006  bcm1k  11023  bcn2  11027  seq3coll  11107  swrds1  11253  pfxccatpfx2  11322  rexuz3  11568  r19.2uz  11571  resqrexlemcvg  11597  resqrexlemgt0  11598  resqrexlemoverl  11599  cau3lem  11692  caubnd2  11695  climconst  11868  climuni  11871  climcau  11925  serf0  11930  fsumparts  12049  isum1p  12071  isumrpcl  12073  cvgratz  12111  mertenslemi1  12114  ntrivcvgap0  12128  fprodabs  12195  eftlub  12269  bitsfzo  12534  bitsinv1  12541  ialgr0  12634  eucalg  12649  pw2dvds  12756  eulerthlemrprm  12819  oddprm  12850  pcfac  12941  pcbc  12942  ennnfonelem1  13046  gsumfzconst  13946  lmconst  14959  2logb9irr  15714  sqrt2cxp2logb9e3  15718  2logb9irrap  15720  lgseisenlem4  15821  lgsquadlem1  15825  lgsquad2  15831  cvgcmp2nlemabs  16687  trilpolemlt1  16696