Theorem uzid 9915

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9627	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8832	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9904	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  uzidd  9916  uzn0  9917  uz11  9924  eluzfz1  10414  eluzfz2  10415  elfz3  10417  elfz1end  10439  fzssp1  10451  fzpred  10455  fzp1ss  10458  fzpr  10462  fztp  10463  elfz0add  10505  fzolb  10539  zpnn0elfzo  10603  fzosplitsnm1  10605  fzofzp1  10623  fzosplitsn  10629  fzostep1  10634  zsupcllemstep  10640  zsupcllemex  10641  frec2uzuzd  10817  frecuzrdgrrn  10823  frec2uzrdg  10824  frecuzrdgrcl  10825  frecuzrdgsuc  10829  frecuzrdgrclt  10830  frecuzrdgg  10831  frecuzrdgsuctlem  10838  uzsinds  10859  seq3val  10875  seqvalcd  10876  seq3-1  10877  seqf  10879  seq3p1  10880  seq3fveq  10894  seq3-1p  10905  seq3caopr3  10906  iseqf1olemjpcl  10923  iseqf1olemqpcl  10924  seq3f1oleml  10931  seq3f1o  10932  seq3homo  10942  faclbnd3  11159  bcm1k  11176  bcn2  11180  seq3coll  11272  swrds1  11418  pfxccatpfx2  11487  rexuz3  11734  r19.2uz  11737  resqrexlemcvg  11763  resqrexlemgt0  11764  resqrexlemoverl  11765  cau3lem  11858  caubnd2  11861  climconst  12034  climuni  12037  climcau  12091  serf0  12096  fsumparts  12215  isum1p  12237  isumrpcl  12239  cvgratz  12277  mertenslemi1  12280  ntrivcvgap0  12294  fprodabs  12361  eftlub  12435  bitsfzo  12700  bitsinv1  12707  ialgr0  12800  eucalg  12815  pw2dvds  12922  eulerthlemrprm  12985  oddprm  13016  pcfac  13107  pcbc  13108  ballotfilemfp1  13209  ennnfonelem1  13276  gzsumconst  14120  lmconst  15240  2logb9irr  15996  sqrt2cxp2logb9e3  16000  2logb9irrap  16002  lgseisenlem4  16106  lgsquadlem1  16110  lgsquad2  16116  cvgcmp2nlemabs  16986  trilpolemlt1  16995