Theorem uzid 9760

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9473	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8684	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9749	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324   <_ cle 8205   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltirr 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  uzidd  9761  uzn0  9762  uz11  9769  eluzfz1  10256  eluzfz2  10257  elfz3  10259  elfz1end  10280  fzssp1  10292  fzpred  10295  fzp1ss  10298  fzpr  10302  fztp  10303  elfz0add  10345  fzolb  10379  zpnn0elfzo  10442  fzosplitsnm1  10444  fzofzp1  10462  fzosplitsn  10468  fzostep1  10473  zsupcllemstep  10479  zsupcllemex  10480  frec2uzuzd  10654  frecuzrdgrrn  10660  frec2uzrdg  10661  frecuzrdgrcl  10662  frecuzrdgsuc  10666  frecuzrdgrclt  10667  frecuzrdgg  10668  frecuzrdgsuctlem  10675  uzsinds  10696  seq3val  10712  seqvalcd  10713  seq3-1  10714  seqf  10716  seq3p1  10717  seq3fveq  10731  seq3-1p  10742  seq3caopr3  10743  iseqf1olemjpcl  10760  iseqf1olemqpcl  10761  seq3f1oleml  10768  seq3f1o  10769  seq3homo  10779  faclbnd3  10995  bcm1k  11012  bcn2  11016  seq3coll  11096  swrds1  11239  pfxccatpfx2  11308  rexuz3  11541  r19.2uz  11544  resqrexlemcvg  11570  resqrexlemgt0  11571  resqrexlemoverl  11572  cau3lem  11665  caubnd2  11668  climconst  11841  climuni  11844  climcau  11898  serf0  11903  fsumparts  12021  isum1p  12043  isumrpcl  12045  cvgratz  12083  mertenslemi1  12086  ntrivcvgap0  12100  fprodabs  12167  eftlub  12241  bitsfzo  12506  bitsinv1  12513  ialgr0  12606  eucalg  12621  pw2dvds  12728  eulerthlemrprm  12791  oddprm  12822  pcfac  12913  pcbc  12914  ennnfonelem1  13018  gsumfzconst  13918  lmconst  14930  2logb9irr  15685  sqrt2cxp2logb9e3  15689  2logb9irrap  15691  lgseisenlem4  15792  lgsquadlem1  15796  lgsquad2  15802  cvgcmp2nlemabs  16572  trilpolemlt1  16581