Theorem uzid 9555

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9270	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8484	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9545	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228   <_ cle 8006   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-pre-ltirr 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-neg 8144  df-z 9267  df-uz 9542

This theorem is referenced by:  uzn0  9556  uz11  9563  eluzfz1  10044  eluzfz2  10045  elfz3  10047  elfz1end  10068  fzssp1  10080  fzpred  10083  fzp1ss  10086  fzpr  10090  fztp  10091  elfz0add  10133  fzolb  10166  zpnn0elfzo  10220  fzosplitsnm1  10222  fzofzp1  10240  fzosplitsn  10246  fzostep1  10250  frec2uzuzd  10415  frecuzrdgrrn  10421  frec2uzrdg  10422  frecuzrdgrcl  10423  frecuzrdgsuc  10427  frecuzrdgrclt  10428  frecuzrdgg  10429  frecuzrdgsuctlem  10436  uzsinds  10455  seq3val  10471  seqvalcd  10472  seq3-1  10473  seqf  10474  seq3p1  10475  seq3fveq  10484  seq3-1p  10493  seq3caopr3  10494  iseqf1olemjpcl  10508  iseqf1olemqpcl  10509  seq3f1oleml  10516  seq3f1o  10517  seq3homo  10523  faclbnd3  10736  bcm1k  10753  bcn2  10757  seq3coll  10835  rexuz3  11012  r19.2uz  11015  resqrexlemcvg  11041  resqrexlemgt0  11042  resqrexlemoverl  11043  cau3lem  11136  caubnd2  11139  climconst  11311  climuni  11314  climcau  11368  serf0  11373  fsumparts  11491  isum1p  11513  isumrpcl  11515  cvgratz  11553  mertenslemi1  11556  ntrivcvgap0  11570  fprodabs  11637  eftlub  11711  zsupcllemstep  11959  zsupcllemex  11960  ialgr0  12057  eucalg  12072  pw2dvds  12179  eulerthlemrprm  12242  oddprm  12272  pcfac  12361  pcbc  12362  ennnfonelem1  12421  lmconst  13987  2logb9irr  14660  sqrt2cxp2logb9e3  14664  2logb9irrap  14666  cvgcmp2nlemabs  15052  trilpolemlt1  15061