Theorem uzid 9542

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9257	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8471	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9532	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   ` cfv 5217   <_ cle 7993   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529

This theorem is referenced by:  uzn0  9543  uz11  9550  eluzfz1  10031  eluzfz2  10032  elfz3  10034  elfz1end  10055  fzssp1  10067  fzpred  10070  fzp1ss  10073  fzpr  10077  fztp  10078  elfz0add  10120  fzolb  10153  zpnn0elfzo  10207  fzosplitsnm1  10209  fzofzp1  10227  fzosplitsn  10233  fzostep1  10237  frec2uzuzd  10402  frecuzrdgrrn  10408  frec2uzrdg  10409  frecuzrdgrcl  10410  frecuzrdgsuc  10414  frecuzrdgrclt  10415  frecuzrdgg  10416  frecuzrdgsuctlem  10423  uzsinds  10442  seq3val  10458  seqvalcd  10459  seq3-1  10460  seqf  10461  seq3p1  10462  seq3fveq  10471  seq3-1p  10480  seq3caopr3  10481  iseqf1olemjpcl  10495  iseqf1olemqpcl  10496  seq3f1oleml  10503  seq3f1o  10504  seq3homo  10510  faclbnd3  10723  bcm1k  10740  bcn2  10744  seq3coll  10822  rexuz3  10999  r19.2uz  11002  resqrexlemcvg  11028  resqrexlemgt0  11029  resqrexlemoverl  11030  cau3lem  11123  caubnd2  11126  climconst  11298  climuni  11301  climcau  11355  serf0  11360  fsumparts  11478  isum1p  11500  isumrpcl  11502  cvgratz  11540  mertenslemi1  11543  ntrivcvgap0  11557  fprodabs  11624  eftlub  11698  zsupcllemstep  11946  zsupcllemex  11947  ialgr0  12044  eucalg  12059  pw2dvds  12166  eulerthlemrprm  12229  oddprm  12259  pcfac  12348  pcbc  12349  ennnfonelem1  12408  lmconst  13719  2logb9irr  14392  sqrt2cxp2logb9e3  14396  2logb9irrap  14398  cvgcmp2nlemabs  14783  trilpolemlt1  14792