Theorem uzid 9868

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9581	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8788	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9857	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  uzidd  9869  uzn0  9870  uz11  9877  eluzfz1  10365  eluzfz2  10366  elfz3  10368  elfz1end  10389  fzssp1  10401  fzpred  10404  fzp1ss  10407  fzpr  10411  fztp  10412  elfz0add  10454  fzolb  10488  zpnn0elfzo  10552  fzosplitsnm1  10554  fzofzp1  10572  fzosplitsn  10578  fzostep1  10583  zsupcllemstep  10589  zsupcllemex  10590  frec2uzuzd  10764  frecuzrdgrrn  10770  frec2uzrdg  10771  frecuzrdgrcl  10772  frecuzrdgsuc  10776  frecuzrdgrclt  10777  frecuzrdgg  10778  frecuzrdgsuctlem  10785  uzsinds  10806  seq3val  10822  seqvalcd  10823  seq3-1  10824  seqf  10826  seq3p1  10827  seq3fveq  10841  seq3-1p  10852  seq3caopr3  10853  iseqf1olemjpcl  10870  iseqf1olemqpcl  10871  seq3f1oleml  10878  seq3f1o  10879  seq3homo  10889  faclbnd3  11105  bcm1k  11122  bcn2  11126  seq3coll  11214  swrds1  11360  pfxccatpfx2  11429  rexuz3  11675  r19.2uz  11678  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemgt0  11705  resqrexlemoverl  11706  cau3lem  11799  caubnd2  11802  climconst  11975  climuni  11978  climcau  12032  serf0  12037  fsumparts  12156  isum1p  12178  isumrpcl  12180  cvgratz  12218  mertenslemi1  12221  ntrivcvgap0  12235  fprodabs  12302  eftlub  12376  bitsfzo  12641  bitsinv1  12648  ialgr0  12741  eucalg  12756  pw2dvds  12863  eulerthlemrprm  12926  oddprm  12957  pcfac  13048  pcbc  13049  ennnfonelem1  13158  gsumfzconst  14058  lmconst  15081  2logb9irr  15836  sqrt2cxp2logb9e3  15840  2logb9irrap  15842  lgseisenlem4  15946  lgsquadlem1  15950  lgsquad2  15956  cvgcmp2nlemabs  16816  trilpolemlt1  16825