Theorem uzid 9736

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9450	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8661	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9726	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  uzidd  9737  uzn0  9738  uz11  9745  eluzfz1  10227  eluzfz2  10228  elfz3  10230  elfz1end  10251  fzssp1  10263  fzpred  10266  fzp1ss  10269  fzpr  10273  fztp  10274  elfz0add  10316  fzolb  10350  zpnn0elfzo  10413  fzosplitsnm1  10415  fzofzp1  10433  fzosplitsn  10439  fzostep1  10443  zsupcllemstep  10449  zsupcllemex  10450  frec2uzuzd  10624  frecuzrdgrrn  10630  frec2uzrdg  10631  frecuzrdgrcl  10632  frecuzrdgsuc  10636  frecuzrdgrclt  10637  frecuzrdgg  10638  frecuzrdgsuctlem  10645  uzsinds  10666  seq3val  10682  seqvalcd  10683  seq3-1  10684  seqf  10686  seq3p1  10687  seq3fveq  10701  seq3-1p  10712  seq3caopr3  10713  iseqf1olemjpcl  10730  iseqf1olemqpcl  10731  seq3f1oleml  10738  seq3f1o  10739  seq3homo  10749  faclbnd3  10965  bcm1k  10982  bcn2  10986  seq3coll  11064  swrds1  11200  pfxccatpfx2  11269  rexuz3  11501  r19.2uz  11504  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemgt0  11531  resqrexlemoverl  11532  cau3lem  11625  caubnd2  11628  climconst  11801  climuni  11804  climcau  11858  serf0  11863  fsumparts  11981  isum1p  12003  isumrpcl  12005  cvgratz  12043  mertenslemi1  12046  ntrivcvgap0  12060  fprodabs  12127  eftlub  12201  bitsfzo  12466  bitsinv1  12473  ialgr0  12566  eucalg  12581  pw2dvds  12688  eulerthlemrprm  12751  oddprm  12782  pcfac  12873  pcbc  12874  ennnfonelem1  12978  gsumfzconst  13878  lmconst  14890  2logb9irr  15645  sqrt2cxp2logb9e3  15649  2logb9irrap  15651  lgseisenlem4  15752  lgsquadlem1  15756  lgsquad2  15762  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemlt1  16409