Theorem uzid 9494

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9209	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8426	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 321	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9484	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 166	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196   <_ cle 7948   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-pre-ltirr 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5854  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-neg 8086  df-z 9206  df-uz 9481

This theorem is referenced by:  uzn0  9495  uz11  9502  eluzfz1  9980  eluzfz2  9981  elfz3  9983  elfz1end  10004  fzssp1  10016  fzpred  10019  fzp1ss  10022  fzpr  10026  fztp  10027  elfz0add  10069  fzolb  10102  zpnn0elfzo  10156  fzosplitsnm1  10158  fzofzp1  10176  fzosplitsn  10182  fzostep1  10186  frec2uzuzd  10351  frecuzrdgrrn  10357  frec2uzrdg  10358  frecuzrdgrcl  10359  frecuzrdgsuc  10363  frecuzrdgrclt  10364  frecuzrdgg  10365  frecuzrdgsuctlem  10372  uzsinds  10391  seq3val  10407  seqvalcd  10408  seq3-1  10409  seqf  10410  seq3p1  10411  seq3fveq  10420  seq3-1p  10429  seq3caopr3  10430  iseqf1olemjpcl  10444  iseqf1olemqpcl  10445  seq3f1oleml  10452  seq3f1o  10453  seq3homo  10459  faclbnd3  10670  bcm1k  10687  bcn2  10691  seq3coll  10770  rexuz3  10947  r19.2uz  10950  resqrexlemcvg  10976  resqrexlemgt0  10977  resqrexlemoverl  10978  cau3lem  11071  caubnd2  11074  climconst  11246  climuni  11249  climcau  11303  serf0  11308  fsumparts  11426  isum1p  11448  isumrpcl  11450  cvgratz  11488  mertenslemi1  11491  ntrivcvgap0  11505  fprodabs  11572  eftlub  11646  zsupcllemstep  11893  zsupcllemex  11894  ialgr0  11991  eucalg  12006  pw2dvds  12113  eulerthlemrprm  12176  oddprm  12206  pcfac  12295  pcbc  12296  ennnfonelem1  12355  lmconst  12975  2logb9irr  13648  sqrt2cxp2logb9e3  13652  2logb9irrap  13654  cvgcmp2nlemabs  14029  trilpolemlt1  14038