Theorem uzid 9364

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9082	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8300	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 321	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9354	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 166	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  uzn0  9365  uz11  9372  eluzfz1  9842  eluzfz2  9843  elfz3  9845  elfz1end  9866  fzssp1  9878  fzpred  9881  fzp1ss  9884  fzpr  9888  fztp  9889  elfz0add  9931  fzolb  9961  zpnn0elfzo  10015  fzosplitsnm1  10017  fzofzp1  10035  fzosplitsn  10041  fzostep1  10045  frec2uzuzd  10206  frecuzrdgrrn  10212  frec2uzrdg  10213  frecuzrdgrcl  10214  frecuzrdgsuc  10218  frecuzrdgrclt  10219  frecuzrdgg  10220  frecuzrdgsuctlem  10227  uzsinds  10246  seq3val  10262  seqvalcd  10263  seq3-1  10264  seqf  10265  seq3p1  10266  seq3fveq  10275  seq3-1p  10284  seq3caopr3  10285  iseqf1olemjpcl  10299  iseqf1olemqpcl  10300  seq3f1oleml  10307  seq3f1o  10308  seq3homo  10314  faclbnd3  10521  bcm1k  10538  bcn2  10542  seq3coll  10617  rexuz3  10794  r19.2uz  10797  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemgt0  10824  resqrexlemoverl  10825  cau3lem  10918  caubnd2  10921  climconst  11091  climuni  11094  climcau  11148  serf0  11153  fsumparts  11271  isum1p  11293  isumrpcl  11295  cvgratz  11333  mertenslemi1  11336  ntrivcvgap0  11350  eftlub  11433  zsupcllemstep  11674  zsupcllemex  11675  ialgr0  11761  eucalg  11776  pw2dvds  11880  ennnfonelem1  11956  lmconst  12424  2logb9irr  13096  sqrt2cxp2logb9e3  13100  2logb9irrap  13102  cvgcmp2nlemabs  13402  trilpolemlt1  13409