Theorem uzid 9886

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9598	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 8805	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 323	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 9875	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 167	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357   <_ cle 8325   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-neg 8463  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  uzidd  9887  uzn0  9888  uz11  9895  eluzfz1  10385  eluzfz2  10386  elfz3  10388  elfz1end  10410  fzssp1  10422  fzpred  10426  fzp1ss  10429  fzpr  10433  fztp  10434  elfz0add  10476  fzolb  10510  zpnn0elfzo  10574  fzosplitsnm1  10576  fzofzp1  10594  fzosplitsn  10600  fzostep1  10605  zsupcllemstep  10611  zsupcllemex  10612  frec2uzuzd  10788  frecuzrdgrrn  10794  frec2uzrdg  10795  frecuzrdgrcl  10796  frecuzrdgsuc  10800  frecuzrdgrclt  10801  frecuzrdgg  10802  frecuzrdgsuctlem  10809  uzsinds  10830  seq3val  10846  seqvalcd  10847  seq3-1  10848  seqf  10850  seq3p1  10851  seq3fveq  10865  seq3-1p  10876  seq3caopr3  10877  iseqf1olemjpcl  10894  iseqf1olemqpcl  10895  seq3f1oleml  10902  seq3f1o  10903  seq3homo  10913  faclbnd3  11130  bcm1k  11147  bcn2  11151  seq3coll  11239  swrds1  11385  pfxccatpfx2  11454  rexuz3  11700  r19.2uz  11703  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemgt0  11730  resqrexlemoverl  11731  cau3lem  11824  caubnd2  11827  climconst  12000  climuni  12003  climcau  12057  serf0  12062  fsumparts  12181  isum1p  12203  isumrpcl  12205  cvgratz  12243  mertenslemi1  12246  ntrivcvgap0  12260  fprodabs  12327  eftlub  12401  bitsfzo  12666  bitsinv1  12673  ialgr0  12766  eucalg  12781  pw2dvds  12888  eulerthlemrprm  12951  oddprm  12982  pcfac  13073  pcbc  13074  ballotfilemfp1  13175  ennnfonelem1  13242  gsumfzconst  14094  lmconst  15207  2logb9irr  15962  sqrt2cxp2logb9e3  15966  2logb9irrap  15968  lgseisenlem4  16072  lgsquadlem1  16076  lgsquad2  16082  cvgcmp2nlemabs  16942  trilpolemlt1  16951