Theorem gsumfzsnfd 13890

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	|- B = ( Base ` G )
gsumsnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumfzsnd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumsnd.c	|- ( ph -> C e. B )
gsumsnd.s	|- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
gsumsnfd.p	|- F/ k ph
gsumsnfd.c	|- F/_ k C

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsnfd	|- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable group:   k, M

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)   C( k)   G( k)

Proof of Theorem gsumfzsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 |- F/ k ph
2		elsni 3684	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> k = M )
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> A = C )
5	1, 4	mpteq2da 4173	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> C ) )
6	5	oveq2d 6023	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) )
7		gsumfzsnd.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
8		fzsn 10270	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
10	9	mpteq1d 4169	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> C ) = ( k e. { M } |-> C ) )
11	10	oveq2d 6023	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) )
12		gsumsnd.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
13	7	uzidd 9745	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
14		gsumsnd.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. B )
15		gsumsnfd.c	. . . . 5 |- F/_ k C
16		gsumsnd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
17		eqid 2229	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
18	15, 16, 17	gsumfzconstf 13887	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ( ZZ>= ` M ) /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2268	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
21	7	zcnd 9578	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
22	21	subidd 8453	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
23	22	oveq1d 6022	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
24		0p1e1 9232	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
26	25	oveq1d 6022	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) = ( 1 (.g ` G ) C ) )
27	16, 17	mulg1 13674	. . 3 |- ( C e. B -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
28	14, 27	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
29	20, 26, 28	3eqtrd 2266	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   F/wnf 1506   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   {csn 3666   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   - cmin 8325   ZZcz 9454   ZZ>=cuz 9730   ...cfz 10212   Basecbs 13040   gsum_g cgsu 13298   Mndcmnd 13457  ._gcmg 13664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-seqfrec 10678  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-igsum 13300  df-minusg 13545  df-mulg 13665

This theorem is referenced by:  gsumfzfsumlemm  14559