Theorem gsumfzsnfd 13415

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	|- B = ( Base ` G )
gsumsnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumfzsnd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumsnd.c	|- ( ph -> C e. B )
gsumsnd.s	|- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
gsumsnfd.p	|- F/ k ph
gsumsnfd.c	|- F/_ k C

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsnfd	|- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable group:   k, M

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)   C( k)   G( k)

Proof of Theorem gsumfzsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 |- F/ k ph
2		elsni 3636	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> k = M )
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> A = C )
5	1, 4	mpteq2da 4118	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> C ) )
6	5	oveq2d 5934	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) )
7		gsumfzsnd.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
8		fzsn 10132	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
10	9	mpteq1d 4114	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> C ) = ( k e. { M } |-> C ) )
11	10	oveq2d 5934	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) )
12		gsumsnd.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
13	7	uzidd 9607	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
14		gsumsnd.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. B )
15		gsumsnfd.c	. . . . 5 |- F/_ k C
16		gsumsnd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
17		eqid 2193	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
18	15, 16, 17	gsumfzconstf 13412	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ( ZZ>= ` M ) /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2232	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
21	7	zcnd 9440	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
22	21	subidd 8318	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
23	22	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
24		0p1e1 9096	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
26	25	oveq1d 5933	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) = ( 1 (.g ` G ) C ) )
27	16, 17	mulg1 13199	. . 3 |- ( C e. B -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
28	14, 27	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
29	20, 26, 28	3eqtrd 2230	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   F/wnf 1471   e. wcel 2164   F/_wnfc 2323   {csn 3618   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   Basecbs 12618   gsum_g cgsu 12868   Mndcmnd 12997  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  gsumfzfsumlemm  14075