Theorem gsumfzsnfd 13553

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	|- B = ( Base ` G )
gsumsnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumfzsnd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumsnd.c	|- ( ph -> C e. B )
gsumsnd.s	|- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
gsumsnfd.p	|- F/ k ph
gsumsnfd.c	|- F/_ k C

Assertion

Ref	Expression
gsumfzsnfd	|- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable group:   k, M

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)   C( k)   G( k)

Proof of Theorem gsumfzsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 |- F/ k ph
2		elsni 3641	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> k = M )
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> A = C )
5	1, 4	mpteq2da 4123	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> C ) )
6	5	oveq2d 5941	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) )
7		gsumfzsnd.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
8		fzsn 10160	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
10	9	mpteq1d 4119	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> C ) = ( k e. { M } |-> C ) )
11	10	oveq2d 5941	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( G gsumg ( k e. { M } |-> C ) ) )
12		gsumsnd.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
13	7	uzidd 9635	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
14		gsumsnd.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. B )
15		gsumsnfd.c	. . . . 5 |- F/_ k C
16		gsumsnd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
17		eqid 2196	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
18	15, 16, 17	gsumfzconstf 13550	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ( ZZ>= ` M ) /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2235	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
21	7	zcnd 9468	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
22	21	subidd 8344	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
23	22	oveq1d 5940	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
24		0p1e1 9123	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2245	. . 3 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
26	25	oveq1d 5940	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) = ( 1 (.g ` G ) C ) )
27	16, 17	mulg1 13337	. . 3 |- ( C e. B -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
28	14, 27	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
29	20, 26, 28	3eqtrd 2233	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   F/wnf 1474   e. wcel 2167   F/_wnfc 2326   {csn 3623   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7898   1c1 7899   + caddc 7901   - cmin 8216   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620   ...cfz 10102   Basecbs 12705   gsum_g cgsu 12961   Mndcmnd 13120  ._gcmg 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-seqfrec 10559  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-0g 12962  df-igsum 12963  df-minusg 13208  df-mulg 13328

This theorem is referenced by:  gsumfzfsumlemm  14221