Theorem restdis 12544

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	|- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Proof of Theorem restdis

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 12445	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ~P A e. Top )
3		elpw2g 4117	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( B e. ~P A <-> B C_ A ) )
4	3	biimpar 295	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> B e. ~P A )
5		restopn2 12543	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ B e. ~P A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
7		velpw 3550	. . . 4 |- ( x e. ~P B <-> x C_ B )
8		sstr 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ B /\ B C_ A ) -> x C_ A )
9	8	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
11		velpw 3550	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x e. ~P A ) )
13	12	pm4.71rd 392	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
14	7, 13	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ~P B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
15	6, 14	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> x e. ~P B ) )
16	15	eqrdv 2155	1 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   ~Pcpw 3543  (class class class)co 5818   ↾_t crest 12311   Topctop 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401

This theorem is referenced by: (None)