Theorem restdis 12392

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	|- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Proof of Theorem restdis

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 12293	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ~P A e. Top )
3		elpw2g 4089	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( B e. ~P A <-> B C_ A ) )
4	3	biimpar 295	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> B e. ~P A )
5		restopn2 12391	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ B e. ~P A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
7		velpw 3522	. . . 4 |- ( x e. ~P B <-> x C_ B )
8		sstr 3110	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ B /\ B C_ A ) -> x C_ A )
9	8	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
11		velpw 3522	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x e. ~P A ) )
13	12	pm4.71rd 392	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
14	7, 13	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ~P B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
15	6, 14	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> x e. ~P B ) )
16	15	eqrdv 2138	1 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515  (class class class)co 5782   ↾_t crest 12159   Topctop 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249

This theorem is referenced by: (None)