Theorem restdis 12824

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	|- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Proof of Theorem restdis

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 12725	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ~P A e. Top )
3		elpw2g 4135	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( B e. ~P A <-> B C_ A ) )
4	3	biimpar 295	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> B e. ~P A )
5		restopn2 12823	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ B e. ~P A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
7		velpw 3566	. . . 4 |- ( x e. ~P B <-> x C_ B )
8		sstr 3150	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ B /\ B C_ A ) -> x C_ A )
9	8	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
11		velpw 3566	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x e. ~P A ) )
13	12	pm4.71rd 392	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
14	7, 13	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ~P B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
15	6, 14	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> x e. ~P B ) )
16	15	eqrdv 2163	1 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559  (class class class)co 5842   ↾_t crest 12556   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681

This theorem is referenced by: (None)