Theorem restdis 14504

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	|- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Proof of Theorem restdis

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 14405	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ~P A e. Top )
3		elpw2g 4190	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( B e. ~P A <-> B C_ A ) )
4	3	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> B e. ~P A )
5		restopn2 14503	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ B e. ~P A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
7		velpw 3613	. . . 4 |- ( x e. ~P B <-> x C_ B )
8		sstr 3192	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ B /\ B C_ A ) -> x C_ A )
9	8	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
10	9	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
11		velpw 3613	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	imbitrrdi 162	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x e. ~P A ) )
13	12	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
14	7, 13	bitrid 192	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ~P B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
15	6, 14	bitr4d 191	. 2 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> x e. ~P B ) )
16	15	eqrdv 2194	1 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ~Pcpw 3606  (class class class)co 5925   ↾_t crest 12941   Topctop 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363

This theorem is referenced by: (None)