Theorem restdis 12978

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	|- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Proof of Theorem restdis

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 12879	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ~P A e. Top )
3		elpw2g 4142	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( B e. ~P A <-> B C_ A ) )
4	3	biimpar 295	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> B e. ~P A )
5		restopn2 12977	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ B e. ~P A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
7		velpw 3573	. . . 4 |- ( x e. ~P B <-> x C_ B )
8		sstr 3155	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ B /\ B C_ A ) -> x C_ A )
9	8	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
10	9	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x C_ A ) )
11		velpw 3573	. . . . . 6 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B -> x e. ~P A ) )
13	12	pm4.71rd 392	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x C_ B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
14	7, 13	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ~P B <-> ( x e. ~P A /\ x C_ B ) ) )
15	6, 14	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( x e. ( ~P A ↾t B ) <-> x e. ~P B ) )
16	15	eqrdv 2168	1 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> ( ~P A ↾t B ) = ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566  (class class class)co 5853   ↾_t crest 12579   Topctop 12789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835

This theorem is referenced by: (None)