Theorem restsspw 13282

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	|- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rest 13274	. . . . . . 7 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
2	1	elmpocl 6200	. . . . . 6 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
3		elrest 13279	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
5	4	ibi 176	. . . 4 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> E. y e. J x = ( y i^i A ) )
6		inss2 3425	. . . . . 6 |- ( y i^i A ) C_ A
7		sseq1 3247	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i A ) -> ( x C_ A <-> ( y i^i A ) C_ A ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
9	8	rexlimivw 2644	. . . 4 |- ( E. y e. J x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
10	5, 9	syl 14	. . 3 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x C_ A )
11		velpw 3656	. . 3 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	sylibr 134	. 2 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x e. ~P A )
13	12	ssriv 3228	1 |- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   |-> cmpt 4145   ran crn 4720  (class class class)co 6001   ↾_t crest 13272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-rest 13274

This theorem is referenced by:  dvidsslem  15367  dvconstss  15372