Theorem restsspw 12589

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	|- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rest 12581	. . . . . . 7 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
2	1	elmpocl 6047	. . . . . 6 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
3		elrest 12586	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
5	4	ibi 175	. . . 4 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> E. y e. J x = ( y i^i A ) )
6		inss2 3348	. . . . . 6 |- ( y i^i A ) C_ A
7		sseq1 3170	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i A ) -> ( x C_ A <-> ( y i^i A ) C_ A ) )
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
9	8	rexlimivw 2583	. . . 4 |- ( E. y e. J x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
10	5, 9	syl 14	. . 3 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x C_ A )
11		velpw 3573	. . 3 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	sylibr 133	. 2 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x e. ~P A )
13	12	ssriv 3151	1 |- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   |-> cmpt 4050   ran crn 4612  (class class class)co 5853   ↾_t crest 12579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-rest 12581

This theorem is referenced by: (None)