ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restsspw Unicode version

Theorem restsspw 12160
Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restsspw  |-  ( Jt  A )  C_  ~P A

Proof of Theorem restsspw
Dummy variables  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rest 12152 . . . . . . 7  |-t  =  ( j  e.  _V ,  x  e. 
_V  |->  ran  ( y  e.  j  |->  ( y  i^i  x ) ) )
21elmpocl 5972 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V ) )
3 elrest 12157 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i  A
) ) )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i  A
) ) )
54ibi 175 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i  A ) )
6 inss2 3298 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  A )  C_  A
7 sseq1 3121 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
x  C_  A  <->  ( y  i^i  A )  C_  A
) )
86, 7mpbiri 167 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  i^i 
A )  ->  x  C_  A )
98rexlimivw 2546 . . . 4  |-  ( E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i 
A )  ->  x  C_  A )
105, 9syl 14 . . 3  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  x  C_  A
)
11 velpw 3518 . . 3  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
1210, 11sylibr 133 . 2  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ~P A )
1312ssriv 3102 1  |-  ( Jt  A )  C_  ~P A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   E.wrex 2418   _Vcvv 2687    i^i cin 3071    C_ wss 3072   ~Pcpw 3511    |-> cmpt 3993   ran crn 4544  (class class class)co 5778   ↾t crest 12150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-rest 12152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator