ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restsspw Unicode version

Theorem restsspw 12754
Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restsspw  |-  ( Jt  A )  C_  ~P A

Proof of Theorem restsspw
Dummy variables  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rest 12746 . . . . . . 7  |-t  =  ( j  e.  _V ,  x  e. 
_V  |->  ran  ( y  e.  j  |->  ( y  i^i  x ) ) )
21elmpocl 6091 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  ( J  e. 
_V  /\  A  e.  _V ) )
3 elrest 12751 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i  A
) ) )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  ( x  e.  ( Jt  A )  <->  E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i  A
) ) )
54ibi 176 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i  A ) )
6 inss2 3371 . . . . . 6  |-  ( y  i^i  A )  C_  A
7 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
x  C_  A  <->  ( y  i^i  A )  C_  A
) )
86, 7mpbiri 168 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  i^i 
A )  ->  x  C_  A )
98rexlimivw 2603 . . . 4  |-  ( E. y  e.  J  x  =  ( y  i^i 
A )  ->  x  C_  A )
105, 9syl 14 . . 3  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  x  C_  A
)
11 velpw 3597 . . 3  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
1210, 11sylibr 134 . 2  |-  ( x  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ~P A )
1312ssriv 3174 1  |-  ( Jt  A )  C_  ~P A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    i^i cin 3143    C_ wss 3144   ~Pcpw 3590    |-> cmpt 4079   ran crn 4645  (class class class)co 5896   ↾t crest 12744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-rest 12746
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator