Theorem restsspw 12502

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	|- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rest 12494	. . . . . . 7 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
2	1	elmpocl 6030	. . . . . 6 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
3		elrest 12499	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
5	4	ibi 175	. . . 4 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> E. y e. J x = ( y i^i A ) )
6		inss2 3338	. . . . . 6 |- ( y i^i A ) C_ A
7		sseq1 3160	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i A ) -> ( x C_ A <-> ( y i^i A ) C_ A ) )
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
9	8	rexlimivw 2577	. . . 4 |- ( E. y e. J x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
10	5, 9	syl 14	. . 3 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x C_ A )
11		velpw 3560	. . 3 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	sylibr 133	. 2 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x e. ~P A )
13	12	ssriv 3141	1 |- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   E.wrex 2443   _Vcvv 2721   i^i cin 3110   C_ wss 3111   ~Pcpw 3553   |-> cmpt 4037   ran crn 4599  (class class class)co 5836   ↾_t crest 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-rest 12494

This theorem is referenced by: (None)