Theorem restsspw 11973

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	|- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rest 11965	. . . . . . 7 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
2	1	elmpocl 5922	. . . . . 6 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
3		elrest 11970	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
5	4	ibi 175	. . . 4 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> E. y e. J x = ( y i^i A ) )
6		inss2 3263	. . . . . 6 |- ( y i^i A ) C_ A
7		sseq1 3086	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i A ) -> ( x C_ A <-> ( y i^i A ) C_ A ) )
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
9	8	rexlimivw 2519	. . . 4 |- ( E. y e. J x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
10	5, 9	syl 14	. . 3 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x C_ A )
11		selpw 3483	. . 3 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	sylibr 133	. 2 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x e. ~P A )
13	12	ssriv 3067	1 |- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   E.wrex 2391   _Vcvv 2657   i^i cin 3036   C_ wss 3037   ~Pcpw 3476   |-> cmpt 3949   ran crn 4500  (class class class)co 5728   ↾_t crest 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-rest 11965

This theorem is referenced by: (None)