Theorem restsspw 13331

Description: The subspace topology is a collection of subsets of the restriction set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsspw	|- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Proof of Theorem restsspw

Dummy variables x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rest 13323	. . . . . . 7 |- ↾t = ( j e. _V , x e. _V |-> ran ( y e. j |-> ( y i^i x ) ) )
2	1	elmpocl 6216	. . . . . 6 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( J e. _V /\ A e. _V ) )
3		elrest 13328	. . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> ( x e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J x = ( y i^i A ) ) )
5	4	ibi 176	. . . 4 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> E. y e. J x = ( y i^i A ) )
6		inss2 3428	. . . . . 6 |- ( y i^i A ) C_ A
7		sseq1 3250	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i A ) -> ( x C_ A <-> ( y i^i A ) C_ A ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
9	8	rexlimivw 2646	. . . 4 |- ( E. y e. J x = ( y i^i A ) -> x C_ A )
10	5, 9	syl 14	. . 3 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x C_ A )
11		velpw 3659	. . 3 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
12	10, 11	sylibr 134	. 2 |- ( x e. ( J ↾t A ) -> x e. ~P A )
13	12	ssriv 3231	1 |- ( J ↾t A ) C_ ~P A

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   |-> cmpt 4150   ran crn 4726  (class class class)co 6017   ↾_t crest 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-rest 13323

This theorem is referenced by:  dvidsslem  15416  dvconstss  15421