Theorem eqeltrrid 2322

Description: B membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqeltrrid.1	⊢ 𝐵 = 𝐴
eqeltrrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqeltrrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem eqeltrrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeltrrid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = 𝐴
2	1	eqcomi 2238	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
3		eqeltrrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
4	2, 3	eqeltrid 2321	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2227  df-clel 2230

This theorem is referenced by:  dmrnssfld  5022  cnvexg  5302  opabbrex  6099  offval  6276  resfunexgALT  6303  abrexexg  6313  abrexex2g  6315  opabex3d  6316  oprssdmm  6367  unfidisj  7184  residfi  7209  ssfii  7263  djuexb  7337  nqprlu  7864  iccshftr  10330  iccshftl  10332  iccdil  10334  icccntr  10336  mertenslem2  12226  exprmfct  12839  infpnlem1  13061  4sqlem13m  13105  ennnfonelemg  13171  prdsval  13503  prdsbaslemss  13504  grpidvalg  13603  igsumvalx  13619  grppropstrg  13749  releqgg  13954  eqgex  13955  0opn  14888  difopn  14990  tgrest  15051  txbasex  15139  txdis1cn  15160  cnmptid  15163  cnmptc  15164  cnmpt1st  15170  cnmpt2nd  15171  cnmpt2c  15172  hmeoima  15192  hmeocld  15194  fsumcncntop  15449  expcn  15451  plycoeid3  15639