Theorem topontopn 14273

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
topontopn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14250	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
2		tsetslid 12865	. . . . . 6 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotslfn 12704	. . . . 5 ⊢ TopSet Fn V
4		fnrel 5356	. . . . 5 ⊢ (TopSet Fn V → Rel TopSet)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel TopSet
6		0opn 14242	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
7		tsettps.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
8	6, 7	eleqtrdi 2289	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (TopSet‘𝐾))
9		relelfvdm 5590	. . . 4 ⊢ ((Rel TopSet ∧ ∅ ∈ (TopSet‘𝐾)) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ dom TopSet)
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
12		toponuni 14251	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝐽)
13		eqimss2 3238	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝐽 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
15		sspwuni 4001	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		tsettps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
18	17, 7	topnidg 12923	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ dom TopSet ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
19	11, 16, 18	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  𝒫 cpw 3605  ∪ cuni 3839  dom cdm 4663  Rel wrel 4668   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  TopSetcts 12761  TopOpenctopn 12911  Topctop 14233  TopOnctopon 14246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-tset 12774  df-rest 12912  df-topn 12913  df-top 14234  df-topon 14247

This theorem is referenced by:  tsettps  14274  cnfldms  14772  cnfldtopn  14775