Theorem topontopn 14427

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
topontopn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14404	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
2		tsetslid 12938	. . . . . 6 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotslfn 12777	. . . . 5 ⊢ TopSet Fn V
4		fnrel 5366	. . . . 5 ⊢ (TopSet Fn V → Rel TopSet)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel TopSet
6		0opn 14396	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
7		tsettps.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
8	6, 7	eleqtrdi 2297	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (TopSet‘𝐾))
9		relelfvdm 5602	. . . 4 ⊢ ((Rel TopSet ∧ ∅ ∈ (TopSet‘𝐾)) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ dom TopSet)
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
12		toponuni 14405	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝐽)
13		eqimss2 3247	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝐽 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
15		sspwuni 4011	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		tsettps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
18	17, 7	topnidg 13002	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ dom TopSet ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
19	11, 16, 18	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  𝒫 cpw 3615  ∪ cuni 3849  dom cdm 4673  Rel wrel 4678   Fn wfn 5263  ‘cfv 5268  Basecbs 12751  TopSetcts 12834  TopOpenctopn 12990  Topctop 14387  TopOnctopon 14400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-tset 12847  df-rest 12991  df-topn 12992  df-top 14388  df-topon 14401

This theorem is referenced by:  tsettps  14428  cnfldms  14926  cnfldtopn  14929