Theorem topontopn 12675

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
topontopn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 12652	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
2		tsetslid 12545	. . . . . 6 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotslfn 12420	. . . . 5 ⊢ TopSet Fn V
4		fnrel 5286	. . . . 5 ⊢ (TopSet Fn V → Rel TopSet)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel TopSet
6		0opn 12644	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
7		tsettps.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
8	6, 7	eleqtrdi 2259	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (TopSet‘𝐾))
9		relelfvdm 5518	. . . 4 ⊢ ((Rel TopSet ∧ ∅ ∈ (TopSet‘𝐾)) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
10	5, 8, 9	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ dom TopSet)
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
12		toponuni 12653	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝐽)
13		eqimss2 3197	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝐽 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
15		sspwuni 3950	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		tsettps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
18	17, 7	topnidg 12569	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ dom TopSet ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
19	11, 16, 18	syl2anc 409	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  𝒫 cpw 3559  ∪ cuni 3789  dom cdm 4604  Rel wrel 4609   Fn wfn 5183  ‘cfv 5188  Basecbs 12394  TopSetcts 12463  TopOpenctopn 12557  Topctop 12635  TopOnctopon 12648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-tset 12476  df-rest 12558  df-topn 12559  df-top 12636  df-topon 12649

This theorem is referenced by:  tsettps  12676