Theorem topontopn 15263

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
topontopn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 15240	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
2		tsetslid 13601	. . . . . 6 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotslfn 13436	. . . . 5 ⊢ TopSet Fn V
4		fnrel 5482	. . . . 5 ⊢ (TopSet Fn V → Rel TopSet)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel TopSet
6		0opn 15232	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
7		tsettps.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
8	6, 7	eleqtrdi 2331	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (TopSet‘𝐾))
9		relelfvdm 5730	. . . 4 ⊢ ((Rel TopSet ∧ ∅ ∈ (TopSet‘𝐾)) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
10	5, 8, 9	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ dom TopSet)
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
12		toponuni 15241	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝐽)
13		eqimss2 3303	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝐽 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
15		sspwuni 4097	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		tsettps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
18	17, 7	topnidg 13665	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ dom TopSet ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
19	11, 16, 18	syl2anc 415	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  ∪ cuni 3935  dom cdm 4776  Rel wrel 4781   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  Basecbs 13410  TopSetcts 13496  TopOpenctopn 13653  Topctop 15223  TopOnctopon 15236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-top 15224  df-topon 15237

This theorem is used by:  tsettps  15264  cnfldms  15762  cnfldtopn  15765