ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topontopn GIF version

Theorem topontopn 11986
Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsettps.a 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
topontopn (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn
StepHypRef Expression
1 topontop 11963 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
2 tsetslid 11891 . . . . . 6 (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
32slotslfn 11767 . . . . 5 TopSet Fn V
4 fnrel 5157 . . . . 5 (TopSet Fn V → Rel TopSet)
53, 4ax-mp 7 . . . 4 Rel TopSet
6 0opn 11955 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
7 tsettps.j . . . . 5 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
86, 7syl6eleq 2192 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (TopSet‘𝐾))
9 relelfvdm 5385 . . . 4 ((Rel TopSet ∧ ∅ ∈ (TopSet‘𝐾)) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
105, 8, 9sylancr 408 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ dom TopSet)
111, 10syl 14 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
12 toponuni 11964 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = 𝐽)
13 eqimss2 3102 . . . 4 (𝐴 = 𝐽 𝐽𝐴)
1412, 13syl 14 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽𝐴)
15 sspwuni 3843 . . 3 (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 𝐽𝐴)
1614, 15sylibr 133 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
17 tsettps.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝐾)
1817, 7topnidg 11915 . 2 ((𝐾 ∈ dom TopSet ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
1911, 16, 18syl2anc 406 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1299  wcel 1448  Vcvv 2641  wss 3021  c0 3310  𝒫 cpw 3457   cuni 3683  dom cdm 4477  Rel wrel 4482   Fn wfn 5054  cfv 5059  Basecbs 11741  TopSetcts 11809  TopOpenctopn 11903  Topctop 11946  TopOnctopon 11959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1re 7589  ax-addrcl 7592
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-9 8644  df-ndx 11744  df-slot 11745  df-base 11747  df-tset 11822  df-rest 11904  df-topn 11905  df-top 11947  df-topon 11960
This theorem is referenced by:  tsettps  11987
  Copyright terms: Public domain W3C validator