Theorem topontopn 14751

Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
topontopn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14728	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
2		tsetslid 13261	. . . . . 6 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotslfn 13098	. . . . 5 ⊢ TopSet Fn V
4		fnrel 5425	. . . . 5 ⊢ (TopSet Fn V → Rel TopSet)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Rel TopSet
6		0opn 14720	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
7		tsettps.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
8	6, 7	eleqtrdi 2322	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (TopSet‘𝐾))
9		relelfvdm 5667	. . . 4 ⊢ ((Rel TopSet ∧ ∅ ∈ (TopSet‘𝐾)) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
10	5, 8, 9	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ dom TopSet)
11	1, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
12		toponuni 14729	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝐽)
13		eqimss2 3280	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝐽 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
15		sspwuni 4053	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		tsettps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
18	17, 7	topnidg 13325	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ dom TopSet ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
19	11, 16, 18	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  𝒫 cpw 3650  ∪ cuni 3891  dom cdm 4723  Rel wrel 4728   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  Basecbs 13072  TopSetcts 13156  TopOpenctopn 13313  Topctop 14711  TopOnctopon 14724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-tset 13169  df-rest 13314  df-topn 13315  df-top 14712  df-topon 14725

This theorem is referenced by:  tsettps  14752  cnfldms  15250  cnfldtopn  15253