ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topontopn GIF version

Theorem topontopn 13989
Description: Express the predicate "is a topological space". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsettps.a 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
topontopn (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn
StepHypRef Expression
1 topontop 13966 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
2 tsetslid 12696 . . . . . 6 (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
32slotslfn 12537 . . . . 5 TopSet Fn V
4 fnrel 5333 . . . . 5 (TopSet Fn V → Rel TopSet)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 Rel TopSet
6 0opn 13958 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
7 tsettps.j . . . . 5 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
86, 7eleqtrdi 2282 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (TopSet‘𝐾))
9 relelfvdm 5566 . . . 4 ((Rel TopSet ∧ ∅ ∈ (TopSet‘𝐾)) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
105, 8, 9sylancr 414 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ dom TopSet)
111, 10syl 14 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ dom TopSet)
12 toponuni 13967 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = 𝐽)
13 eqimss2 3225 . . . 4 (𝐴 = 𝐽 𝐽𝐴)
1412, 13syl 14 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽𝐴)
15 sspwuni 3986 . . 3 (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 𝐽𝐴)
1614, 15sylibr 134 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
17 tsettps.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝐾)
1817, 7topnidg 12754 . 2 ((𝐾 ∈ dom TopSet ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
1911, 16, 18syl2anc 411 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752  wss 3144  c0 3437  𝒫 cpw 3590   cuni 3824  dom cdm 4644  Rel wrel 4649   Fn wfn 5230  cfv 5235  Basecbs 12511  TopSetcts 12592  TopOpenctopn 12742  Topctop 13949  TopOnctopon 13962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-9 9014  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-tset 12605  df-rest 12743  df-topn 12744  df-top 13950  df-topon 13963
This theorem is referenced by:  tsettps  13990
  Copyright terms: Public domain W3C validator