Theorem rest0 14499

Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4161	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 12947	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4		in0 3486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) = ∅
5	1	elsn2 3657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
6	4, 5	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
8	7	fmpttd 5720	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
9	8	frnd 5420	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
10	3, 9	eqsstrd 3220	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ⊆ {∅})
11		resttop 14490	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
12	1, 11	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
13		0opn 14326	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
15	14	snssd 3768	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽 ↾t ∅))
16	10, 15	eqssd 3201	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∩ cin 3156  ∅c0 3451  {csn 3623   ↦ cmpt 4095  ran crn 4665  (class class class)co 5925   ↾_t crest 12941  Topctop 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-top 14318  df-bases 14363

This theorem is referenced by: (None)