Theorem rest0 14932

Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4217	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 13351	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4		in0 3528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) = ∅
5	1	elsn2 3704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
6	4, 5	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
8	7	fmpttd 5805	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
9	8	frnd 5494	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
10	3, 9	eqsstrd 3262	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ⊆ {∅})
11		resttop 14923	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
12	1, 11	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
13		0opn 14759	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
15	14	snssd 3819	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽 ↾t ∅))
16	10, 15	eqssd 3243	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ∩ cin 3198  ∅c0 3493  {csn 3670   ↦ cmpt 4151  ran crn 4728  (class class class)co 6023   ↾_t crest 13345  Topctop 14750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rest 13347  df-topgen 13366  df-top 14751  df-bases 14796

This theorem is referenced by: (None)