Theorem ntr0 12928

Description: The interior of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ntr0	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ntr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 12798	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		0ss 3453	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝐽
3		eqid 2170	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	isopn3 12919	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝐽) → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
5	2, 4	mpan2 423	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
6	1, 5	mpbid 146	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  ∪ cuni 3796  ‘cfv 5198  Topctop 12789  intcnt 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-top 12790  df-ntr 12890

This theorem is referenced by: (None)