Theorem negdii 7764

Description: Distribution of negative over addition. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
negdii	⊢ -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵)

Proof of Theorem negdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3i.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	addcli 7490	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
4	3	negidi 7749	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = 0
5	1	negidi 7749	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + -𝐴) = 0
6	2	negidi 7749	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + -𝐵) = 0
7	5, 6	oveq12i 5664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = (0 + 0)
8		00id 7621	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
9	7, 8	eqtri 2108	. . 3 ⊢ ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = 0
10	1	negcli 7748	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ ℂ
11	2	negcli 7748	. . . 4 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
12	1, 10, 2, 11	add4i 7645	. . 3 ⊢ ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵))
13	4, 9, 12	3eqtr2i 2114	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵))
14	3	negcli 7748	. . 3 ⊢ -(𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
15	10, 11	addcli 7490	. . 3 ⊢ (-𝐴 + -𝐵) ∈ ℂ
16	3, 14, 15	addcani 7662	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵)) ↔ -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
17	13, 16	mpbi 143	1 ⊢ -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  (class class class)co 5652  ℂcc 7346  0cc0 7348   + caddc 7351  -cneg 7652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653  df-neg 7654

This theorem is referenced by:  negsubdii  7765