Theorem negdii 8310

Description: Distribution of negative over addition. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
negdii	⊢ -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵)

Proof of Theorem negdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3i.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	addcli 8030	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
4	3	negidi 8295	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = 0
5	1	negidi 8295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + -𝐴) = 0
6	2	negidi 8295	. . . . 5 ⊢ (𝐵 + -𝐵) = 0
7	5, 6	oveq12i 5934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = (0 + 0)
8		00id 8167	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
9	7, 8	eqtri 2217	. . 3 ⊢ ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = 0
10	1	negcli 8294	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ ℂ
11	2	negcli 8294	. . . 4 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
12	1, 10, 2, 11	add4i 8191	. . 3 ⊢ ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵))
13	4, 9, 12	3eqtr2i 2223	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵))
14	3	negcli 8294	. . 3 ⊢ -(𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
15	10, 11	addcli 8030	. . 3 ⊢ (-𝐴 + -𝐵) ∈ ℂ
16	3, 14, 15	addcani 8208	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵)) ↔ -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
17	13, 16	mpbi 145	1 ⊢ -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879   + caddc 7882  -cneg 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-neg 8200

This theorem is referenced by:  negsubdii  8311