ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negdii GIF version

Theorem negdii 8010
Description: Distribution of negative over addition. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
negidi.1 𝐴 ∈ ℂ
pncan3i.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
negdii -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵)

Proof of Theorem negdii
StepHypRef Expression
1 negidi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 pncan3i.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
31, 2addcli 7734 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
43negidi 7995 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = 0
51negidi 7995 . . . . 5 (𝐴 + -𝐴) = 0
62negidi 7995 . . . . 5 (𝐵 + -𝐵) = 0
75, 6oveq12i 5752 . . . 4 ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = (0 + 0)
8 00id 7867 . . . 4 (0 + 0) = 0
97, 8eqtri 2136 . . 3 ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = 0
101negcli 7994 . . . 4 -𝐴 ∈ ℂ
112negcli 7994 . . . 4 -𝐵 ∈ ℂ
121, 10, 2, 11add4i 7891 . . 3 ((𝐴 + -𝐴) + (𝐵 + -𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵))
134, 9, 123eqtr2i 2142 . 2 ((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵))
143negcli 7994 . . 3 -(𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
1510, 11addcli 7734 . . 3 (-𝐴 + -𝐵) ∈ ℂ
163, 14, 15addcani 7908 . 2 (((𝐴 + 𝐵) + -(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-𝐴 + -𝐵)) ↔ -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
1713, 16mpbi 144 1 -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1314  wcel 1463  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587  -cneg 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-setind 4420  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-sub 7899  df-neg 7900
This theorem is referenced by:  negsubdii  8011
  Copyright terms: Public domain W3C validator