Theorem addneintr2d 8368

Description: Introducing a term on the right-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcan2ad 8366. Consequence of addcan2d 8364. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addneintr2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addneintr2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem addneintr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addneintr2d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		addcand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcan2d 8364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2443	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  (class class class)co 6018  ℂcc 8030   + caddc 8035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10659