Theorem addneintr2d 8087

Description: Introducing a term on the right-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcan2ad 8085. Consequence of addcan2d 8083. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addneintr2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addneintr2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem addneintr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addneintr2d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		addcand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addcand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addcan2d 8083	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≠ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   + caddc 7756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  10331