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Theorem mertenslem2 11273
Description: Lemma for mertensabs 11274. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
Assertion
Ref Expression
mertenslem2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑇,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑠)   𝐴(𝑧,𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑗,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem mertenslem2
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9329 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9049 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 mertens.9 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
43rphalfcld 9464 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5 nn0uz 9328 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6 0zd 9034 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7 eqidd 2118 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
8 mertens.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
9 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 10921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10eqeltrd 2194 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
12 mertens.7 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
135, 6, 7, 11, 12isumrecl 11166 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
149absge0d 10924 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1514, 8breqtrrd 3926 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
165, 6, 7, 11, 12, 15isumge0 11167 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
1713, 16ge0p1rpd 9482 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
184, 17rpdivcld 9469 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
19 eqidd 2118 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
20 mertens.4 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
21 mertens.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
22 mertens.8 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
235, 6, 20, 21, 22isumclim2 11159 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)
241, 2, 18, 19, 23climi2 11025 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
25 eluznn 9362 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)) → 𝑚 ∈ ℕ)
2620, 21eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
275, 6, 26serf 10215 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ)
28 nnnn0 8952 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
29 ffvelrn 5521 . . . . . . . . . . . 12 ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
3027, 28, 29syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
315, 6, 20, 21, 22isumcl 11162 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
3231adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
3330, 32abssubd 10933 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))))
34 eqid 2117 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑚 + 1))
3528adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36 peano2nn0 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 9139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
39 simpll 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝜑)
40 eluznn0 9361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4137, 40sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4239, 41, 20syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
4339, 41, 21syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4422adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4526adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
465, 37, 45iserex 11076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
4744, 46mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4834, 38, 42, 43, 47isumcl 11162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵 ∈ ℂ)
4930, 48pncan2d 8043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵)
5020adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
5121adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
525, 34, 37, 50, 51, 44isumsplit 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
53 nncn 8696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
55 ax-1cn 7681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
56 pncan 7936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
5754, 55, 56sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
5857oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0...((𝑚 + 1) − 1)) = (0...𝑚))
5958sumeq1d 11103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵)
60 elnn0uz 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
6160, 50sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
6235, 5eleqtrdi 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
6360, 51sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6461, 62, 63fsum3ser 11134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
6559, 64eqtrd 2150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
6665oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
6752, 66eqtrd 2150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
6867oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)))
6942sumeq2dv 11105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵)
7049, 68, 693eqtr4d 2160 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘))
7170fveq2d 5393 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)))
7233, 71eqtrd 2150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)))
7372breq1d 3909 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7425, 73sylan2 284 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7574anassrs 397 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7675ralbidva 2410 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
77 fvoveq1 5765 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1)))
7877sumeq1d 11103 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))
7978fveq2d 5393 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
8079breq1d 3909 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
8180cbvralv 2631 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
8276, 81syl6bb 195 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
83 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
84 0zd 9034 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℤ)
854adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
8683simplbi 272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑠 ∈ ℕ)
8786adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℕ)
8887nnrpd 9450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℝ+)
8985, 88rpdivcld 9469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
9087nnzd 9140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℤ)
91 1zzd 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 1 ∈ ℤ)
9290, 91zsubcld 9146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
9384, 92fzfigd 10172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
94 eqid 2117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1))
95 elfznn0 9862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9695adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
97 peano2nn0 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
9998nn0zd 9139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
100 eqidd 2118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
101 simplll 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
102 eluznn0 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10398, 102sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104101, 103, 26syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
10522ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
106 simpll 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝜑)
107106, 26sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
1085, 98, 107iserex 11076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
109105, 108mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
11094, 99, 100, 104, 109isumcl 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
111110abscld 10921 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
11293, 111fsumrecl 11138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
113 0red 7735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℝ)
114 nnnn0 8952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
115114, 20sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
116114, 21sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
117 1nn0 8961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
118117a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
1195, 118, 26iserex 11076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
12022, 119mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1211, 2, 115, 116, 120isumcl 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
122121adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
123122abscld 10921 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ)
124122absge0d 10924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
12520adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
12621adantlr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12722adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
128 mertens.10 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
129 nnm1nn0 8986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
13087, 129syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
131130, 5eleqtrdi 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ (ℤ‘0))
132 eluzfz1 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
133131, 132syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
134115sumeq2dv 11105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
135134adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
136135fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
137136eqcomd 2123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)))
138 fv0p1e1 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 0 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘1))
139138, 1syl6eqr 2168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 0 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = ℕ)
140139sumeq1d 11103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 0 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘))
141140fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 0 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)))
142141rspceeqv 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
143133, 137, 142syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
144 eqeq1 2124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
145144rexbidv 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
146145, 128elab2g 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
147123, 146syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
148143, 147mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇)
149125, 126, 127, 128, 148, 87mertenslemub 11271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
150113, 123, 112, 124, 149letrd 7854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
151112, 150ge0p1rpd 9482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1) ∈ ℝ+)
15289, 151rpdivcld 9469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ∈ ℝ+)
153 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
154 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑚))
155154eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐾𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℝ))
15611ralrimiva 2482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
157156ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
158155, 157, 153rspcdva 2768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑚) ∈ ℝ)
159 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑚))
160 eqid 2117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))
161159, 160fvmptg 5465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑚) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑚) = (𝐾𝑚))
162153, 158, 161syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑚) = (𝐾𝑚))
163 nn0ex 8951 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
164163mptex 5614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ∈ V
165164a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ∈ V)
16660biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
167 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑘))
168167eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐾𝑘) ∈ ℝ))
169156adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
170 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
171168, 169, 170rspcdva 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
17260, 171sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
173 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑘))
174173, 160fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑘) = (𝐾𝑘))
175166, 172, 174syl2an2 568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑘) = (𝐾𝑘))
176175, 172eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
177 elnn0uz 9331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ‘0))
178 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
179 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
180179, 160fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑗) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
181178, 11, 180syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
182177, 181sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
183 readdcl 7714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
184183adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
1856, 176, 182, 184seq3feq 10213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))) = seq0( + , 𝐾))
186185, 12eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))) ∈ dom ⇝ )
187181, 11eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) ∈ ℝ)
188187recnd 7762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
1895, 6, 165, 186, 188serf0 11089 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ⇝ 0)
190189adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ⇝ 0)
1915, 84, 152, 162, 190climi0 11026 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)))
192 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑎 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑎))
193192cbvsumv 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)
194193fveq2i 5392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))
195194a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
196195sumeq2i 11101 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))
197196oveq1i 5752 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)
198197oveq2i 5753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) = (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
199198breq2i 3907 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ↔ (abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
200199ralbii 2418 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
201200rexbii 2419 . . . . . . . . 9 (∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
202191, 201sylib 121 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
203 simplll 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝜑)
204 eluznn0 9361 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
205204adantll 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
20611, 15absidd 10907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗))
207206ralrimiva 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗))
208154fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (abs‘(𝐾𝑗)) = (abs‘(𝐾𝑚)))
209208, 154eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗) ↔ (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚)))
210209rspccva 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
211207, 210sylan 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
212203, 205, 211syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
213212breq1d 3909 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → ((abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ (𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
214213ralbidva 2410 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
215 nfv 1493 . . . . . . . . . . . 12 𝑚(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
216 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝐾𝑚)
217 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 <
218 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛((𝐸 / 2) / 𝑠)
219 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 /
220 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(0...(𝑠 − 1))
221220nfsum1 11093 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))
222 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 +
223 nfcv 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛1
224221, 222, 223nfov 5769 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)
225218, 219, 224nfov 5769 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
226216, 217, 225nfbr 3944 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
227159breq1d 3909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ (𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
228215, 226, 227cbvral 2627 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
229214, 228syl6bbr 197 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
230 simpll 503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → 𝜑)
231 mertens.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
232230, 231sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
233230, 8sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
234230, 9sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
235230, 20sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
236230, 21sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
237 mertens.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
238230, 237sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
23912ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
24022ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2413ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
242196, 112eqeltrrid 2205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) ∈ ℝ)
243242adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) ∈ ℝ)
244228anbi2i 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
245244anbi2i 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ↔ (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))))
246245biimpi 119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))))
247246adantll 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))))
248150, 196breqtrdi 3939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
249248adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
250 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
25120ralrimiva 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐺𝑘) = 𝐵)
252251ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐺𝑘) = 𝐵)
253 nfcsb1v 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑎 / 𝑘𝐵
254253nfeq2 2270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵
255 csbeq1a 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑘𝐵)
256192, 255eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑎 → ((𝐺𝑘) = 𝐵 ↔ (𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵))
257254, 256rspc 2757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐺𝑘) = 𝐵 → (𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵))
258250, 252, 257sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵)
25921ralrimiva 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
260259ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
261253nfel1 2269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
262255eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑎 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
263261, 262rspc 2757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ → 𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
264250, 260, 263sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
26522ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
266194eqeq2i 2128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ 𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
267266rexbii 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
268267abbii 2233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))} = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))}
269128, 268eqtri 2138 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))}
270 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → 𝑤𝑇)
27187adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → 𝑠 ∈ ℕ)
272258, 264, 265, 269, 270, 271mertenslemub 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → 𝑤 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
273272ralrimiva 2482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ∀𝑤𝑇 𝑤 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
274273adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → ∀𝑤𝑇 𝑤 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
275232, 233, 234, 235, 236, 238, 239, 240, 241, 128, 83, 243, 247, 249, 274mertenslemi1 11272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
276275expr 372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
277229, 276sylbid 149 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
278277rexlimdva 2526 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
279202, 278mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
280279ex 114 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜓 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
28183, 280syl5bir 152 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
282281expdimp 257 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
28382, 282sylbid 149 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
284283rexlimdva 2526 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
28524, 284mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  {cab 2103  wral 2393  wrex 2394  Vcvv 2660  csb 2975   class class class wbr 3899  cmpt 3959  dom cdm 4509  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739  0cn0 8945  cuz 9294  +crp 9409  ...cfz 9758  seqcseq 10186  abscabs 10737  cli 11015  Σcsu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-ico 9645  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by:  mertensabs  11274
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