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Theorem mertenslem2 10993
Description: Lemma for mertensabs 10994. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
Assertion
Ref Expression
mertenslem2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑇,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑠)   𝐴(𝑧,𝑗)   𝐵(𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑗,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem mertenslem2
Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9117 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8840 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 mertens.9 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
43rphalfcld 9249 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
5 nn0uz 9116 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6 0zd 8825 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7 eqidd 2090 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
8 mertens.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
9 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 10677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
118, 10eqeltrd 2165 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
12 mertens.7 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
135, 6, 7, 11, 12isumrecl 10886 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
149absge0d 10680 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1514, 8breqtrrd 3879 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
165, 6, 7, 11, 12, 15isumge0 10887 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
1713, 16ge0p1rpd 9267 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
184, 17rpdivcld 9254 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
19 eqidd 2090 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
20 mertens.4 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
21 mertens.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
22 mertens.8 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
235, 6, 20, 21, 22isumclim2 10879 . . 3 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)
241, 2, 18, 19, 23climi2 10739 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
25 eluznn 9150 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)) → 𝑚 ∈ ℕ)
2620, 21eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
275, 6, 26serf 9963 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ)
28 nnnn0 8743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
29 ffvelrn 5448 . . . . . . . . . . . 12 ((seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
3027, 28, 29syl2an 284 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑚) ∈ ℂ)
315, 6, 20, 21, 22isumcl 10882 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
3231adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
3330, 32abssubd 10689 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))))
34 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑚 + 1))
3528adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36 peano2nn0 8776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 8929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
39 simpll 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝜑)
40 eluznn0 9149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4137, 40sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4239, 41, 20syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
4339, 41, 21syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4422adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4526adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
465, 37, 45iserex 10790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
4744, 46mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → seq(𝑚 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4834, 38, 42, 43, 47isumcl 10882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵 ∈ ℂ)
4930, 48pncan2d 7858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵)
5020adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
5121adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
525, 34, 37, 50, 51, 44isumsplit 10948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
53 nncn 8493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
5453adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
55 ax-1cn 7501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
56 pncan 7751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
5754, 55, 56sylancl 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
5857oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0...((𝑚 + 1) − 1)) = (0...𝑚))
5958sumeq1d 10818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵)
60 elnn0uz 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
6160, 50sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
6235, 5syl6eleq 2181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
6360, 51sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6461, 62, 63fsum3ser 10854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
6559, 64eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 = (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))
6665oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑚 + 1) − 1))𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
6752, 66eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵))
6867oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = (((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵) − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)))
6942sumeq2dv 10820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))𝐵)
7049, 68, 693eqtr4d 2131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘))
7170fveq2d 5324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 − (seq0( + , 𝐺)‘𝑚))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)))
7233, 71eqtrd 2121 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)))
7372breq1d 3863 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7425, 73sylan2 281 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7574anassrs 393 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)) → ((abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
7675ralbidva 2377 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
77 fvoveq1 5691 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1)))
7877sumeq1d 10818 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))
7978fveq2d 5324 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
8079breq1d 3863 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
8180cbvralv 2593 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
8276, 81syl6bb 195 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
83 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
84 0zd 8825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℤ)
854adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
8683simplbi 269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓𝑠 ∈ ℕ)
8786adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℕ)
8887nnrpd 9235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℝ+)
8985, 88rpdivcld 9254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
9087nnzd 8930 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑠 ∈ ℤ)
91 1zzd 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 1 ∈ ℤ)
9290, 91zsubcld 8936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
9384, 92fzfigd 9901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (0...(𝑠 − 1)) ∈ Fin)
94 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘(𝑛 + 1))
95 elfznn0 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9695adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
97 peano2nn0 8776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
9998nn0zd 8929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
100 eqidd 2090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
101 simplll 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝜑)
102 eluznn0 9149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10398, 102sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104101, 103, 26syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
10522ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
106 simpll 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → 𝜑)
107106, 26sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
1085, 98, 107iserex 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
109105, 108mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → seq(𝑛 + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
11094, 99, 100, 104, 109isumcl 10882 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) ∈ ℂ)
111110abscld 10677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
11293, 111fsumrecl 10858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
113 0red 7552 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℝ)
114 nnnn0 8743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
115114, 20sylan2 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
116114, 21sylan2 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
117 1nn0 8752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
118117a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
1195, 118, 26iserex 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
12022, 119mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
1211, 2, 115, 116, 120isumcl 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
122121adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵 ∈ ℂ)
123122abscld 10677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ)
124122absge0d 10680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
12520adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
12621adantlr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12722adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
128 mertens.10 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
129 nnm1nn0 8777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
13087, 129syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ ℕ0)
131130, 5syl6eleq 2181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (𝑠 − 1) ∈ (ℤ‘0))
132 eluzfz1 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
133131, 132syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ (0...(𝑠 − 1)))
134115sumeq2dv 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
135134adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵)
136135fveq2d 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵))
137136eqcomd 2094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)))
138 fv0p1e1 8600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 0 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘1))
139138, 1syl6eqr 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 0 → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = ℕ)
140139sumeq1d 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 0 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘))
141140fveq2d 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 0 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘)))
142141rspceeqv 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
143133, 137, 142syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
144 eqeq1 2095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
145144rexbidv 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
146145, 128elab2g 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ ℝ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
147123, 146syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
148143, 147mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ∈ 𝑇)
149125, 126, 127, 128, 148, 87mertenslemub 10991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐵) ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
150113, 123, 112, 124, 149letrd 7670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
151112, 150ge0p1rpd 9267 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1) ∈ ℝ+)
15289, 151rpdivcld 9254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ∈ ℝ+)
153 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
154 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑚 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑚))
155154eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑚 → ((𝐾𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐾𝑚) ∈ ℝ))
15611ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
157156ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
158155, 157, 153rspcdva 2730 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑚) ∈ ℝ)
159 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑚))
160 eqid 2089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))
161159, 160fvmptg 5395 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑚) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑚) = (𝐾𝑚))
162153, 158, 161syl2anc 404 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑚) = (𝐾𝑚))
163 nn0ex 8742 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
164163mptex 5539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ∈ V
165164a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ∈ V)
16660biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
167 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑘))
168167eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐾𝑘) ∈ ℝ))
169156adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
170 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
171168, 169, 170rspcdva 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
17260, 171sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
173 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑘))
174173, 160fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑘) = (𝐾𝑘))
175166, 172, 174syl2an2 562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑘) = (𝐾𝑘))
176175, 172eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
177 elnn0uz 9119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ‘0))
178 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
179 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
180179, 160fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑗) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
181178, 11, 180syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
182177, 181sylan2br 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) = (𝐾𝑗))
183 readdcl 7531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
184183adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
1856, 176, 182, 184seq3feq 9960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))) = seq0( + , 𝐾))
186185, 12eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))) ∈ dom ⇝ )
187181, 11eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) ∈ ℝ)
188187recnd 7579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
1895, 6, 165, 186, 188serf0 10804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ⇝ 0)
190189adantr 271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐾𝑛)) ⇝ 0)
1915, 84, 152, 162, 190climi0 10740 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)))
192 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑎 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑎))
193192cbvsumv 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)
194193fveq2i 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))
195194a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
196195sumeq2i 10816 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))
197196oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)
198197oveq2i 5679 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) = (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
199198breq2i 3861 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ↔ (abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
200199ralbii 2385 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
201200rexbii 2386 . . . . . . . . 9 (∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) + 1)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
202191, 201sylib 121 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
203 simplll 501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝜑)
204 eluznn0 9149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
205204adantll 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
20611, 15absidd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗))
207206ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗))
208154fveq2d 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑚 → (abs‘(𝐾𝑗)) = (abs‘(𝐾𝑚)))
209208, 154eqeq12d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑚 → ((abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗) ↔ (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚)))
210209rspccva 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘(𝐾𝑗)) = (𝐾𝑗) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
211207, 210sylan 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
212203, 205, 211syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → (abs‘(𝐾𝑚)) = (𝐾𝑚))
213212breq1d 3863 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑡)) → ((abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ (𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
214213ralbidva 2377 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
215 nfv 1467 . . . . . . . . . . . 12 𝑚(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
216 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(𝐾𝑚)
217 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 <
218 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛((𝐸 / 2) / 𝑠)
219 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 /
220 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(0...(𝑠 − 1))
221220nfsum1 10808 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))
222 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 +
223 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛1
224221, 222, 223nfov 5695 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)
225218, 219, 224nfov 5695 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
226216, 217, 225nfbr 3897 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))
227159breq1d 3863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ (𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
228215, 226, 227cbvral 2589 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))
229214, 228syl6bbr 197 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
230 simpll 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → 𝜑)
231 mertens.1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
232230, 231sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
233230, 8sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
234230, 9sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
235230, 20sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
236230, 21sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
237 mertens.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
238230, 237sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
23912ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
24022ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2413ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
242196, 112syl5eqelr 2176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) ∈ ℝ)
243242adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) ∈ ℝ)
244228anbi2i 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1))))
245244anbi2i 446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) ↔ (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))))
246245biimpi 119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))))
247246adantll 461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))))
248150, 196syl6breq 3892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
249248adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
250 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
25120ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐺𝑘) = 𝐵)
252251ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐺𝑘) = 𝐵)
253 nfcsb1v 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑎 / 𝑘𝐵
254253nfeq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵
255 csbeq1a 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑘𝐵)
256192, 255eqeq12d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑎 → ((𝐺𝑘) = 𝐵 ↔ (𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵))
257254, 256rspc 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐺𝑘) = 𝐵 → (𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵))
258250, 252, 257sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑎) = 𝑎 / 𝑘𝐵)
25921ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
260259ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ)
261253nfel1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
262255eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑎 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
263261, 262rspc 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐵 ∈ ℂ → 𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
264250, 260, 263sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
26522ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
266194eqeq2i 2099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ 𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
267266rexbii 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
268267abbii 2204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))} = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))}
269128, 268eqtri 2109 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎))}
270 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → 𝑤𝑇)
27187adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → 𝑠 ∈ ℕ)
272258, 264, 265, 269, 270, 271mertenslemub 10991 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑤𝑇) → 𝑤 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
273272ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ∀𝑤𝑇 𝑤 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
274273adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → ∀𝑤𝑇 𝑤 ≤ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)))
275232, 233, 234, 235, 236, 238, 239, 240, 241, 128, 83, 243, 247, 249, 274mertenslemi1 10992 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
276275expr 368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑛) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
277229, 276sylbid 149 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
278277rexlimdva 2491 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (∃𝑡 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(abs‘(𝐾𝑚)) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑎 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑎)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
279202, 278mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
280279ex 114 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜓 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
28183, 280syl5bir 152 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
282281expdimp 256 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
28382, 282sylbid 149 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
284283rexlimdva 2491 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘((seq0( + , 𝐺)‘𝑚) − Σ𝑘 ∈ ℕ0 𝐵)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
28524, 284mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  {cab 2075  wral 2360  wrex 2361  Vcvv 2622  csb 2936   class class class wbr 3853  cmpt 3907  dom cdm 4454  wf 5026  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411  cr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585  cle 7586  cmin 7716   / cdiv 8202  cn 8485  2c2 8536  0cn0 8736  cuz 9082  +crp 9197  ...cfz 9487  seqcseq 9915  abscabs 10493  cli 10729  Σcsu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by:  mertensabs  10994
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