ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctiunctal GIF version

Theorem ctiunctal 11965
Description: Variation of ctiunct 11964 which allows 𝑥 to be present in 𝜑. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ctiunctal.a (𝜑𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
ctiunctal.b (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
Assertion
Ref Expression
ctiunctal (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o))
Distinct variable groups:   𝐴,,𝑥   𝐵,   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,)   𝐵(𝑥)   𝐹()   𝐺(𝑥,)

Proof of Theorem ctiunctal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctiunctal.a . . 3 (𝜑𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
2 ctiunctal.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3 nfv 1508 . . . . . 6 𝑦 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)
4 nfcsb1v 3035 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐺
5 nfcv 2281 . . . . . . 7 𝑥ω
6 nfcsb1v 3035 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
7 nfcv 2281 . . . . . . . 8 𝑥1o
86, 7nfdju 6927 . . . . . . 7 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)
94, 5, 8nffo 5344 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)
10 csbeq1a 3012 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐺 = 𝑦 / 𝑥𝐺)
11 eqidd 2140 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ω = ω)
12 csbeq1a 3012 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
13 djueq1 6925 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵 → (𝐵 ⊔ 1o) = (𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊔ 1o) = (𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
1510, 11, 14foeq123d 5361 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)))
163, 9, 15cbvral 2650 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
172, 16sylib 121 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
1817r19.21bi 2520 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
191, 18ctiunct 11964 . 2 (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
20 nfcv 2281 . . . . 5 𝑦𝐵
2120, 6, 12cbviun 3850 . . . 4 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
22 djueq1 6925 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 → ( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = ( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
23 foeq3 5343 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = ( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o) → (:ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)))
2421, 22, 23mp2b 8 . . 3 (:ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
2524exbii 1584 . 2 (∃ :ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
2619, 25sylibr 133 1 (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wex 1468  wral 2416  csb 3003   ciun 3813  ωcom 4504  ontowfo 5121  1oc1o 6306  cdju 6922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-dvds 11505
This theorem is referenced by:  omiunct  11968
  Copyright terms: Public domain W3C validator