Theorem ctiunctal 13061

Description: Variation of ctiunct 13060 which allows 𝑥 to be present in 𝜑. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
ctiunctal.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ,𝑥   𝐵,ℎ   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,ℎ)   𝐵(𝑥)   𝐹(ℎ)   𝐺(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
2		ctiunctal.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3		nfv 1576	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)
4		nfcsb1v 3160	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺
5		nfcv 2374	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥ω
6		nfcsb1v 3160	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7		nfcv 2374	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥1o
8	6, 7	nfdju 7240	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
9	4, 5, 8	nffo 5558	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
10		csbeq1a 3136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐺 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺)
11		eqidd 2232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ω = ω)
12		csbeq1a 3136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13		djueq1 7238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
15	10, 11, 14	foeq123d 5576	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
16	3, 9, 15	cbvral 2763	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
17	2, 16	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
18	17	r19.21bi 2620	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
19	1, 18	ctiunct 13060	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
20		nfcv 2374	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
21	20, 6, 12	cbviun 4007	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
22		djueq1 7238	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
23		foeq3 5557	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
25	24	exbii 1653	. 2 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
26	19, 25	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∃wex 1540  ∀wral 2510  ⦋csb 3127  ∪ ciun 3970  ωcom 4688  –onto→wfo 5324  1_oc1o 6574   ⊔ cdju 7235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-case 7282  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  omiunct  13064