Theorem ctiunctal 13033

Description: Variation of ctiunct 13032 which allows 𝑥 to be present in 𝜑. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
ctiunctal.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ,𝑥   𝐵,ℎ   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,ℎ)   𝐵(𝑥)   𝐹(ℎ)   𝐺(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
2		ctiunctal.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3		nfv 1574	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)
4		nfcsb1v 3157	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺
5		nfcv 2372	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥ω
6		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7		nfcv 2372	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥1o
8	6, 7	nfdju 7225	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
9	4, 5, 8	nffo 5552	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
10		csbeq1a 3133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐺 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺)
11		eqidd 2230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ω = ω)
12		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13		djueq1 7223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
15	10, 11, 14	foeq123d 5570	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
16	3, 9, 15	cbvral 2761	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
17	2, 16	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
18	17	r19.21bi 2618	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
19	1, 18	ctiunct 13032	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
20		nfcv 2372	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
21	20, 6, 12	cbviun 4002	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
22		djueq1 7223	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
23		foeq3 5551	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
25	24	exbii 1651	. 2 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
26	19, 25	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538  ∀wral 2508  ⦋csb 3124  ∪ ciun 3965  ωcom 4683  –onto→wfo 5319  1_oc1o 6566   ⊔ cdju 7220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-en 6901  df-dju 7221  df-inl 7230  df-inr 7231  df-case 7267  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-dvds 12320

This theorem is referenced by:  omiunct  13036