ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctiunctal GIF version

Theorem ctiunctal 12412
Description: Variation of ctiunct 12411 which allows 𝑥 to be present in 𝜑. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ctiunctal.a (𝜑𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
ctiunctal.b (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
Assertion
Ref Expression
ctiunctal (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o))
Distinct variable groups:   𝐴,,𝑥   𝐵,   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,)   𝐵(𝑥)   𝐹()   𝐺(𝑥,)

Proof of Theorem ctiunctal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctiunctal.a . . 3 (𝜑𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
2 ctiunctal.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3 nfv 1528 . . . . . 6 𝑦 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)
4 nfcsb1v 3090 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐺
5 nfcv 2319 . . . . . . 7 𝑥ω
6 nfcsb1v 3090 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
7 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑥1o
86, 7nfdju 7034 . . . . . . 7 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)
94, 5, 8nffo 5432 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)
10 csbeq1a 3066 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐺 = 𝑦 / 𝑥𝐺)
11 eqidd 2178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ω = ω)
12 csbeq1a 3066 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
13 djueq1 7032 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵 → (𝐵 ⊔ 1o) = (𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
1412, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊔ 1o) = (𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
1510, 11, 14foeq123d 5449 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)))
163, 9, 15cbvral 2699 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
172, 16sylib 122 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
1817r19.21bi 2565 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐺:ω–onto→(𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
191, 18ctiunct 12411 . 2 (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
20 nfcv 2319 . . . . 5 𝑦𝐵
2120, 6, 12cbviun 3921 . . . 4 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵
22 djueq1 7032 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 → ( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = ( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
23 foeq3 5431 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = ( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o) → (:ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o)))
2421, 22, 23mp2b 8 . . 3 (:ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
2524exbii 1605 . 2 (∃ :ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ :ω–onto→( 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵 ⊔ 1o))
2619, 25sylibr 134 1 (𝜑 → ∃ :ω–onto→( 𝑥𝐴 𝐵 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wral 2455  csb 3057   ciun 3884  ωcom 4585  ontowfo 5209  1oc1o 6403  cdju 7029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-1o 6410  df-er 6528  df-en 6734  df-dju 7030  df-inl 7039  df-inr 7040  df-case 7076  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fl 10243  df-mod 10296  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-dvds 11766
This theorem is referenced by:  omiunct  12415
  Copyright terms: Public domain W3C validator