Theorem ctiunctal 12466

Description: Variation of ctiunct 12465 which allows 𝑥 to be present in 𝜑. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
ctiunctal.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ,𝑥   𝐵,ℎ   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,ℎ)   𝐵(𝑥)   𝐹(ℎ)   𝐺(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
2		ctiunctal.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3		nfv 1539	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)
4		nfcsb1v 3105	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺
5		nfcv 2332	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥ω
6		nfcsb1v 3105	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7		nfcv 2332	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥1o
8	6, 7	nfdju 7060	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
9	4, 5, 8	nffo 5452	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
10		csbeq1a 3081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐺 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺)
11		eqidd 2190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ω = ω)
12		csbeq1a 3081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13		djueq1 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
15	10, 11, 14	foeq123d 5469	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
16	3, 9, 15	cbvral 2714	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
17	2, 16	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
18	17	r19.21bi 2578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
19	1, 18	ctiunct 12465	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
20		nfcv 2332	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
21	20, 6, 12	cbviun 3938	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
22		djueq1 7058	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
23		foeq3 5451	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
25	24	exbii 1616	. 2 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
26	19, 25	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1503  ∀wral 2468  ⦋csb 3072  ∪ ciun 3901  ωcom 4604  –onto→wfo 5229  1_oc1o 6428   ⊔ cdju 7055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-er 6553  df-en 6759  df-dju 7056  df-inl 7065  df-inr 7066  df-case 7102  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fl 10289  df-mod 10342  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-dvds 11814

This theorem is referenced by:  omiunct  12469