Theorem ctiunctal 12455

Description: Variation of ctiunct 12454 which allows 𝑥 to be present in 𝜑. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctiunctal.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
ctiunctal.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
ctiunctal	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ,𝑥   𝐵,ℎ   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,ℎ)   𝐵(𝑥)   𝐹(ℎ)   𝐺(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem ctiunctal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctiunctal.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
2		ctiunctal.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3		nfv 1538	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)
4		nfcsb1v 3102	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺
5		nfcv 2329	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥ω
6		nfcsb1v 3102	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7		nfcv 2329	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥1o
8	6, 7	nfdju 7054	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
9	4, 5, 8	nffo 5449	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)
10		csbeq1a 3078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐺 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺)
11		eqidd 2188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ω = ω)
12		csbeq1a 3078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13		djueq1 7052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ⊔ 1o) = (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
15	10, 11, 14	foeq123d 5466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
16	3, 9, 15	cbvral 2711	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐺:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
17	2, 16	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
18	17	r19.21bi 2575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐺:ω–onto→(⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
19	1, 18	ctiunct 12454	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
20		nfcv 2329	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
21	20, 6, 12	cbviun 3935	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
22		djueq1 7052	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
23		foeq3 5448	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) = (∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o)))
24	21, 22, 23	mp2b 8	. . 3 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
25	24	exbii 1615	. 2 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ⊔ 1o))
26	19, 25	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1363  ∃wex 1502  ∀wral 2465  ⦋csb 3069  ∪ ciun 3898  ωcom 4601  –onto→wfo 5226  1_oc1o 6423   ⊔ cdju 7049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-1o 6430  df-er 6548  df-en 6754  df-dju 7050  df-inl 7059  df-inr 7060  df-case 7096  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-dvds 11808

This theorem is referenced by:  omiunct  12458