Theorem cbvralv 2691

Description: Change the bound variable of a restricted universal quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 28-Jan-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvralv	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1516	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvral 2687	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∀wral 2443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448

This theorem is referenced by:  cbvral2v  2704  cbvral3v  2706  reu7  2920  reusv3i  4436  omsinds  4598  cnvpom  5145  f1mpt  5738  grprinvlem  6032  grprinvd  6033  tfrlem1  6272  tfrlemiubacc  6294  tfrlemi1  6296  tfr1onlemubacc  6310  tfr1onlemaccex  6312  tfrcllembxssdm  6320  tfrcllemubacc  6323  tfrcllemaccex  6325  tfrcllemres  6326  tfrcldm  6327  rdgon  6350  frecfcllem  6368  frecsuclem  6370  nneneq  6819  fimax2gtrilemstep  6862  supubti  6960  suplubti  6961  finomni  7100  acfun  7159  exmidontriimlem3  7175  exmidontriimlem4  7176  exmidontriim  7177  ccfunen  7201  cc2  7204  cauappcvgprlemladdrl  7594  caucvgprlemcl  7613  caucvgprlemladdrl  7615  caucvgsrlembound  7731  caucvgsrlemgt1  7732  caucvgsrlemoffres  7737  suplocsrlem  7745  peano5nnnn  7829  axcaucvglemres  7836  axpre-suploc  7839  suprleubex  8845  nnsub  8892  supinfneg  9529  infsupneg  9530  infregelbex  9532  ublbneg  9547  exbtwnzlemex  10181  uzsinds  10373  iseqovex  10387  seq3val  10389  seqvalcd  10390  seqf  10392  seqovcd  10394  monoord2  10408  iseqf1olemjpcl  10426  iseqf1olemqpcl  10427  seq3f1olemqsum  10431  seq3f1olemp  10433  seq3f1oleml  10434  seq3f1o  10435  nn0ltexp2  10619  bccl  10676  seq3shft  10776  caucvgre  10919  cvg1nlemcau  10922  resqrexlemglsq  10960  resqrexlemsqa  10962  resqrexlemex  10963  cau3lem  11052  zsumdc  11321  fsum3  11324  isumz  11326  isumss2  11330  fsumsersdc  11332  fsum3ser  11334  fisum0diag2  11384  cvgratnnlemnexp  11461  cvgratnnlemmn  11462  cvgratz  11469  mertenslem2  11473  mertensabs  11474  zproddc  11516  fprodseq  11520  prod1dc  11523  fprodsplitdc  11533  zsupssdc  11883  bezoutlemmain  11927  bezoutlemex  11930  bezoutlemzz  11931  bezoutlemeu  11936  bezoutlemle  11937  dfgcd3  11939  prmind2  12048  sqrt2irr  12090  hashdvds  12149  ennnfoneleminc  12340  ennnfonelemex  12343  ennnfonelemr  12352  ctinfom  12357  ctinf  12359  ctiunctlemudc  12366  ssnnctlemct  12375  nninfdclemcl  12377  nninfdclemp1  12379  tgcn  12808  mulcncflem  13190  suplociccreex  13202  dedekindicc  13211  nnsf  13845  nninfsellemqall  13855  nninfomni  13859  trirec0  13883  apdiff  13887  iswomni0  13890  dceqnconst  13898  dcapnconst  13899