Theorem cbvralv 2786

Description: Change the bound variable of a restricted universal quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 28-Jan-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvralv	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvral 2782	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is used by:  cbvral2v  2799  cbvral3v  2801  reu7  3021  reusv3i  4605  omsinds  4769  cnvpom  5330  f1mpt  5977  tfrlem1  6579  tfrlemiubacc  6601  tfrlemi1  6603  tfr1onlemubacc  6617  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllemubacc  6630  tfrcllemaccex  6632  tfrcllemres  6633  tfrcldm  6634  rdgon  6657  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677  nneneq  7158  fimax2gtrilemstep  7205  supubti  7340  suplubti  7341  finomni  7481  nninfwlporlemd  7513  nninfinfwlpo  7521  acfun  7564  exmidontriimlem3  7580  exmidontriimlem4  7581  exmidontriim  7582  ccfunen  7631  cc2  7634  cauappcvgprlemladdrl  8025  caucvgprlemcl  8044  caucvgprlemladdrl  8046  caucvgsrlembound  8162  caucvgsrlemgt1  8163  caucvgsrlemoffres  8168  suplocsrlem  8176  peano5nnnn  8260  axcaucvglemres  8267  axpre-suploc  8270  suprleubex  9287  nnsub  9346  supinfneg  10005  infsupneg  10006  infregelbex  10008  ublbneg  10023  irraddap  10057  zsupssdc  10684  exbtwnzlemex  10695  uzsinds  10896  iseqovex  10910  seq3val  10912  seqvalcd  10913  seqf  10916  seqovcd  10919  monoord2  10938  iseqf1olemjpcl  10960  iseqf1olemqpcl  10961  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1olemp  10967  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  nn0ltexp2  11163  bccl  11221  seq3shft  11619  caucvgre  11763  cvg1nlemcau  11766  resqrexlemglsq  11804  resqrexlemsqa  11806  resqrexlemex  11807  cau3lem  11897  zsumdc  12170  fsum3  12173  isumz  12175  isumss2  12179  fsumsersdc  12181  fsum3ser  12183  fisum0diag2  12233  cvgratnnlemnexp  12310  cvgratnnlemmn  12311  cvgratz  12318  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  zproddc  12365  fprodseq  12369  prod1dc  12372  fprodsplitdc  12382  bezoutlemmain  12794  bezoutlemex  12797  bezoutlemzz  12798  bezoutlemeu  12803  bezoutlemle  12804  dfgcd3  12806  prmind2  12917  sqrt2irr  12960  hashdvds  13022  ballotfilemefi  13289  ballotfilemodife  13292  ennnfoneleminc  13354  ennnfonelemex  13357  ennnfonelemr  13366  ctinfom  13371  ctinf  13373  ctiunctlemudc  13380  ssnnctlemct  13389  nninfdclemp1  13393  psrbaglefifi  15147  mplsubgfilemcl  15181  tgcn  15400  mulcncflem  15799  suplociccreex  15816  dedekindicc  15825  vtxedgfi  16696  vtxlpfi  16697  nnsf  17214  nninfsellemqall  17224  nninfomni  17228  repiecef  17243  trirec0  17260  apdiff  17264  iswomni0  17268  dceqnconst  17277  dcapnconst  17278  neap0mkv  17286  ltlenmkv  17287