Theorem cbvralv 2729

Description: Change the bound variable of a restricted universal quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 28-Jan-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvralv	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvral 2725	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  cbvral2v  2742  cbvral3v  2744  reu7  2959  reusv3i  4495  omsinds  4659  cnvpom  5213  f1mpt  5821  tfrlem1  6375  tfrlemiubacc  6397  tfrlemi1  6399  tfr1onlemubacc  6413  tfr1onlemaccex  6415  tfrcllembxssdm  6423  tfrcllemubacc  6426  tfrcllemaccex  6428  tfrcllemres  6429  tfrcldm  6430  rdgon  6453  frecfcllem  6471  frecsuclem  6473  nneneq  6927  fimax2gtrilemstep  6970  supubti  7074  suplubti  7075  finomni  7215  nninfwlporlemd  7247  nninfinfwlpo  7255  acfun  7292  exmidontriimlem3  7308  exmidontriimlem4  7309  exmidontriim  7310  ccfunen  7349  cc2  7352  cauappcvgprlemladdrl  7743  caucvgprlemcl  7762  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgsrlembound  7880  caucvgsrlemgt1  7881  caucvgsrlemoffres  7886  suplocsrlem  7894  peano5nnnn  7978  axcaucvglemres  7985  axpre-suploc  7988  suprleubex  9000  nnsub  9048  supinfneg  9688  infsupneg  9689  infregelbex  9691  ublbneg  9706  zsupssdc  10347  exbtwnzlemex  10358  uzsinds  10555  iseqovex  10569  seq3val  10571  seqvalcd  10572  seqf  10575  seqovcd  10578  monoord2  10597  iseqf1olemjpcl  10619  iseqf1olemqpcl  10620  seq3f1olemqsum  10624  seq3f1olemp  10626  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  nn0ltexp2  10820  bccl  10878  seq3shft  11022  caucvgre  11165  cvg1nlemcau  11168  resqrexlemglsq  11206  resqrexlemsqa  11208  resqrexlemex  11209  cau3lem  11298  zsumdc  11568  fsum3  11571  isumz  11573  isumss2  11577  fsumsersdc  11579  fsum3ser  11581  fisum0diag2  11631  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratnnlemmn  11709  cvgratz  11716  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  zproddc  11763  fprodseq  11767  prod1dc  11770  fprodsplitdc  11780  bezoutlemmain  12192  bezoutlemex  12195  bezoutlemzz  12196  bezoutlemeu  12201  bezoutlemle  12202  dfgcd3  12204  prmind2  12315  sqrt2irr  12357  hashdvds  12416  ennnfoneleminc  12655  ennnfonelemex  12658  ennnfonelemr  12667  ctinfom  12672  ctinf  12674  ctiunctlemudc  12681  ssnnctlemct  12690  nninfdclemp1  12694  mplsubgfilemcl  14333  tgcn  14552  mulcncflem  14951  suplociccreex  14968  dedekindicc  14977  nnsf  15760  nninfsellemqall  15770  nninfomni  15774  trirec0  15801  apdiff  15805  iswomni0  15808  dceqnconst  15817  dcapnconst  15818  neap0mkv  15826  ltlenmkv  15827