Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elex 2741 |
. 2
⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V) |
2 | | nfcv 2312 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑦𝐾 |
3 | | nfcsb1v 3082 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 |
4 | | csbeq1a 3058 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐾 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) |
5 | 2, 3, 4 | cbvixp 6693 |
. . . . 5
⊢ X𝑥 ∈
𝐼 𝐾 = X𝑦 ∈ 𝐼 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 |
6 | 5 | eleq2i 2237 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ X𝑦 ∈ 𝐼 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) |
7 | | elixp2 6680 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ X𝑦 ∈ 𝐼 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)) |
8 | | 3anass 977 |
. . . 4
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾))) |
9 | 6, 7, 8 | 3bitri 205 |
. . 3
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾))) |
10 | | eqid 2170 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) |
11 | 10 | fnmpt 5324 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ 𝐾 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼) |
12 | 10 | fvmpt2 5579 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) = 𝐽) |
13 | | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ 𝐾) |
14 | 12, 13 | eqeltrd 2247 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾) |
15 | 14 | ralimiaa 2532 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾) |
16 | 11, 15 | jca 304 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ 𝐾 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾)) |
17 | | dffn2 5349 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽):𝐼⟶V) |
18 | 10 | fmpt 5646 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽):𝐼⟶V) |
19 | 10 | fvmpt2 5579 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) = 𝐽) |
20 | 19 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ V) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 ↔ 𝐽 ∈ 𝐾)) |
21 | 20 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ V) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → 𝐽 ∈ 𝐾)) |
22 | 21 | ralimiaa 2532 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ V → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → 𝐽 ∈ 𝐾)) |
23 | | ralim 2529 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → 𝐽 ∈ 𝐾) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾)) |
24 | 22, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾)) |
25 | 18, 24 | sylbir 134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽):𝐼⟶V → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾)) |
26 | 17, 25 | sylbi 120 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾)) |
27 | 26 | imp 123 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾) |
28 | 16, 27 | impbii 125 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ 𝐾 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾)) |
29 | | nfv 1521 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 |
30 | | nffvmpt1 5507 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) |
31 | 30, 3 | nfel 2321 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾 |
32 | | fveq2 5496 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦)) |
33 | 32, 4 | eleq12d 2241 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)) |
34 | 29, 31, 33 | cbvral 2692 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) |
35 | 34 | anbi2i 454 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)) |
36 | 28, 35 | bitri 183 |
. . . 4
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐼 𝐽 ∈ 𝐾 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)) |
37 | | mptexg 5721 |
. . . . 5
⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V) |
38 | 37 | biantrurd 303 |
. . . 4
⊢ (𝐼 ∈ V → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)))) |
39 | 36, 38 | bitr2id 192 |
. . 3
⊢ (𝐼 ∈ V → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ V ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽)‘𝑦) ∈ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐾)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾)) |
40 | 9, 39 | syl5bb 191 |
. 2
⊢ (𝐼 ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾)) |
41 | 1, 40 | syl 14 |
1
⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐽) ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 ∈ 𝐾)) |