ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum00 GIF version

Theorem fsum00 10919
Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsum00 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fsumge0.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantlr 462 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fsumge0.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
65adantlr 462 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7 snssi 3589 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
87adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
9 snfig 6587 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ∈ Fin)
109adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ∈ Fin)
112, 4, 6, 8, 10fsumlessfi 10917 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1211adantlr 462 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
13 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
143, 5jca 301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1514ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1615adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
17 nfcsb1v 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
1817nfel1 2240 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
19 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
20 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
2119, 20, 17nfbr 3897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵
2218, 21nfan 1503 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
23 csbeq1a 2944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
2423eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2523breq2d 3865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2624, 25anbi12d 458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2722, 26rspc 2719 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2816, 27mpan9 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2928simpld 111 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
3029recnd 7579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31 sumsns 10872 . . . . . . . 8 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
3213, 30, 31syl2anc 404 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
33 simplr 498 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
3412, 32, 333brtr3d 3882 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0)
3528simprd 113 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
36 0re 7551 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
37 letri3 7629 . . . . . . 7 ((𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3829, 36, 37sylancl 405 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3934, 35, 38mpbir2and 891 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4039ralrimiva 2447 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
41 nfv 1467 . . . . 5 𝑚 𝐵 = 0
4217nfeq1 2239 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 = 0
4323eqeq1d 2097 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0))
4441, 42, 43cbvral 2589 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4540, 44sylibr 133 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4645ex 114 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
47 isumz 10844 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑥𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4847olcs 691 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
49 sumeq2 10811 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
5049eqeq1d 2097 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5148, 50syl5ibrcom 156 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
521, 51syl 14 . 2 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
5346, 52impbid 128 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 781  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  csb 2936  wss 3002  {csn 3452   class class class wbr 3853  cfv 5030  Fincfn 6513  cc 7411  cr 7412  0cc0 7413  cle 7586  cz 8813  cuz 9082  Σcsu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator