Theorem fsum00 11263

Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsum00	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		fsumge0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantlr 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fsumge0.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
6	5	adantlr 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7		snssi 3672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
8	7	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
9		snfig 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → {𝑚} ∈ Fin)
10	9	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑚} ∈ Fin)
11	2, 4, 6, 8, 10	fsumlessfi 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	11	adantlr 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
13		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
14	3, 5	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15	14	ralrimiva 2508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
17		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
18	17	nfel1 2293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
19		nfcv 2282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘0
20		nfcv 2282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
21	19, 20, 17	nfbr 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
22	18, 21	nfan 1545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
23		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
24	23	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
25	23	breq2d 3949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
26	24, 25	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
27	22, 26	rspc 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
28	16, 27	mpan9 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
29	28	simpld 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
30	29	recnd 7818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
31		sumsns 11216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
32	13, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
33		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
34	12, 32, 33	3brtr3d 3967	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0)
35	28	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
36		0re 7790	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
37		letri3 7869	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
38	29, 36, 37	sylancl 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
39	34, 35, 38	mpbir2and 929	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
40	39	ralrimiva 2508	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚 ∈ 𝐴 ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
41		nfv 1509	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐵 = 0
42	17	nfeq1 2292	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0
43	23	eqeq1d 2149	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
44	41, 42, 43	cbvral 2653	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
45	40, 44	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
46	45	ex 114	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
47		isumz 11190	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
48	47	olcs 726	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
49		sumeq2 11160	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 0)
50	49	eqeq1d 2149	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
51	48, 50	syl5ibrcom 156	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
52	1, 51	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
53	46, 52	impbid 128	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ⦋csb 3007   ⊆ wss 3076  {csn 3532   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  Fincfn 6642  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  Σcsu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by: (None)