Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum00 GIF version

Theorem fsum00 10919
 Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsum00 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fsumge0.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantlr 462 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fsumge0.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
65adantlr 462 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7 snssi 3589 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
87adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
9 snfig 6587 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ∈ Fin)
109adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ∈ Fin)
112, 4, 6, 8, 10fsumlessfi 10917 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1211adantlr 462 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
13 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
143, 5jca 301 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1514ralrimiva 2447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1615adantr 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
17 nfcsb1v 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
1817nfel1 2240 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
19 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
20 nfcv 2229 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
2119, 20, 17nfbr 3897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵
2218, 21nfan 1503 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
23 csbeq1a 2944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
2423eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2523breq2d 3865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2624, 25anbi12d 458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2722, 26rspc 2719 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2816, 27mpan9 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2928simpld 111 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
3029recnd 7579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31 sumsns 10872 . . . . . . . 8 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
3213, 30, 31syl2anc 404 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
33 simplr 498 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
3412, 32, 333brtr3d 3882 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0)
3528simprd 113 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
36 0re 7551 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
37 letri3 7629 . . . . . . 7 ((𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3829, 36, 37sylancl 405 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3934, 35, 38mpbir2and 891 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4039ralrimiva 2447 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
41 nfv 1467 . . . . 5 𝑚 𝐵 = 0
4217nfeq1 2239 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 = 0
4323eqeq1d 2097 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0))
4441, 42, 43cbvral 2589 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4540, 44sylibr 133 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4645ex 114 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
47 isumz 10844 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑥𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4847olcs 691 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
49 sumeq2 10811 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
5049eqeq1d 2097 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5148, 50syl5ibrcom 156 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
521, 51syl 14 . 2 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
5346, 52impbid 128 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 781   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  ⦋csb 2936   ⊆ wss 3002  {csn 3452   class class class wbr 3853  ‘cfv 5030  Fincfn 6513  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413   ≤ cle 7586  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator