Theorem fsum00 11627

Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsum00	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		fsumge0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fsumge0.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
6	5	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7		snssi 3766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
8	7	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
9		snfig 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → {𝑚} ∈ Fin)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑚} ∈ Fin)
11	2, 4, 6, 8, 10	fsumlessfi 11625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
12	11	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
13		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
14	3, 5	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15	14	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
17		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
18	17	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
19		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘0
20		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
21	19, 20, 17	nfbr 4079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
22	18, 21	nfan 1579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
23		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
24	23	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
25	23	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
26	24, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
27	22, 26	rspc 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
28	16, 27	mpan9 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
29	28	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
30	29	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
31		sumsns 11580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
32	13, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
33		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
34	12, 32, 33	3brtr3d 4064	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0)
35	28	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
36		0re 8026	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
37		letri3 8107	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
38	29, 36, 37	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
39	34, 35, 38	mpbir2and 946	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
40	39	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚 ∈ 𝐴 ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
41		nfv 1542	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐵 = 0
42	17	nfeq1 2349	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0
43	23	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
44	41, 42, 43	cbvral 2725	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
45	40, 44	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
46	45	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
47		isumz 11554	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑥 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
48	47	olcs 737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
49		sumeq2 11524	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 0)
50	49	eqeq1d 2205	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
51	48, 50	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
52	1, 51	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
53	46, 52	impbid 129	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ⦋csb 3084   ⊆ wss 3157  {csn 3622   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  Fincfn 6799  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   ≤ cle 8062  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  Σcsu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by: (None)