ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum00 GIF version

Theorem fsum00 11473
Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsum00 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fsumge0.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantlr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fsumge0.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
65adantlr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7 snssi 3738 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
87adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
9 snfig 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ∈ Fin)
109adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ∈ Fin)
112, 4, 6, 8, 10fsumlessfi 11471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1211adantlr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
13 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
143, 5jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1514ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1615adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
17 nfcsb1v 3092 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
1817nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
19 nfcv 2319 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
20 nfcv 2319 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
2119, 20, 17nfbr 4051 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵
2218, 21nfan 1565 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
23 csbeq1a 3068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
2423eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2523breq2d 4017 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2624, 25anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2722, 26rspc 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2816, 27mpan9 281 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2928simpld 112 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
3029recnd 7989 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31 sumsns 11426 . . . . . . . 8 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
3213, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
33 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
3412, 32, 333brtr3d 4036 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0)
3528simprd 114 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
36 0re 7960 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
37 letri3 8041 . . . . . . 7 ((𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3829, 36, 37sylancl 413 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3934, 35, 38mpbir2and 944 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4039ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
41 nfv 1528 . . . . 5 𝑚 𝐵 = 0
4217nfeq1 2329 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 = 0
4323eqeq1d 2186 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0))
4441, 42, 43cbvral 2701 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4540, 44sylibr 134 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4645ex 115 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
47 isumz 11400 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℤ‘0)DECID 𝑥𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4847olcs 736 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
49 sumeq2 11370 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
5049eqeq1d 2186 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5148, 50syl5ibrcom 157 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
521, 51syl 14 . 2 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
5346, 52impbid 129 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  csb 3059  wss 3131  {csn 3594   class class class wbr 4005  cfv 5218  Fincfn 6743  cc 7812  cr 7813  0cc0 7814  cle 7996  cz 9256  cuz 9531  Σcsu 11364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator