Theorem infxrnegsupex 11032

Description: The infimum of a set of extended reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrnegsupex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
infxrnegsupex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
infxrnegsupex	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infxrnegsupex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9583	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3		infxrnegsupex.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4	2, 3	infclti 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		xnegneg 9616	. . 3 ⊢ (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
7		xnegeq 9610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → -𝑒𝑤 = -𝑒𝑧)
8	7	cbvmptv 4024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑧)
9	8	mptpreima 5032	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}
10		eqid 2139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
11	10	xrnegiso 11031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
12	11	simpri 112	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
13	12	imaeq1i 4878	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
14	9, 13	eqtr3i 2162	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
15	14	supeq1i 6875	. . . . 5 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < )
16	11	simpli 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*)
17		isocnv 5712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) → ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)
19		isoeq1 5702	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) → (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
21	18, 20	mpbi 144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)
22	21	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
23		infxrnegsupex.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
24	3	cnvinfex 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))
25	2	cnvti 6906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓◡ < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔◡ < 𝑓)))
26	22, 23, 24, 25	supisoti 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )))
27	15, 26	syl5eq 2184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )))
28		df-inf 6872	. . . . . . 7 ⊢ inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )
29	28	eqcomi 2143	. . . . . 6 ⊢ sup(𝐴, ℝ*, ◡ < ) = inf(𝐴, ℝ*, < )
30	29	fveq2i 5424	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < ))
31		eqidd 2140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
32		xnegeq 9610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < ) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
33	32	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < )) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
34	4	xnegcld 9638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
35	31, 33, 4, 34	fvmptd 5502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
36	30, 35	syl5eq 2184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
37	27, 36	eqtr2d 2173	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
38		xnegeq 9610	. . 3 ⊢ (-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
39	37, 38	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
40	6, 39	eqtr3d 2174	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ^◡ccnv 4538   “ cima 4542  ‘cfv 5123   Isom wiso 5124  supcsup 6869  infcinf 6870  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800  -_𝑒cxne 9556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936  df-xneg 9559

This theorem is referenced by:  xrminmax  11034