Theorem infxrnegsupex 11428

Description: The infimum of a set of extended reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrnegsupex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
infxrnegsupex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
infxrnegsupex	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infxrnegsupex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9872	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3		infxrnegsupex.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4	2, 3	infclti 7089	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		xnegneg 9908	. . 3 ⊢ (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
7		xnegeq 9902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → -𝑒𝑤 = -𝑒𝑧)
8	7	cbvmptv 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑧)
9	8	mptpreima 5163	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}
10		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
11	10	xrnegiso 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
12	11	simpri 113	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
13	12	imaeq1i 5006	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
14	9, 13	eqtr3i 2219	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
15	14	supeq1i 7054	. . . . 5 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < )
16	11	simpli 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*)
17		isocnv 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) → ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)
19		isoeq1 5848	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) → (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
21	18, 20	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)
22	21	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
23		infxrnegsupex.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
24	3	cnvinfex 7084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))
25	2	cnvti 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓◡ < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔◡ < 𝑓)))
26	22, 23, 24, 25	supisoti 7076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )))
27	15, 26	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )))
28		df-inf 7051	. . . . . . 7 ⊢ inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )
29	28	eqcomi 2200	. . . . . 6 ⊢ sup(𝐴, ℝ*, ◡ < ) = inf(𝐴, ℝ*, < )
30	29	fveq2i 5561	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < ))
31		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
32		xnegeq 9902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < ) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
33	32	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < )) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
34	4	xnegcld 9930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
35	31, 33, 4, 34	fvmptd 5642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
36	30, 35	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
37	27, 36	eqtr2d 2230	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
38		xnegeq 9902	. . 3 ⊢ (-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
39	37, 38	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
40	6, 39	eqtr3d 2231	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ^◡ccnv 4662   “ cima 4666  ‘cfv 5258   Isom wiso 5259  supcsup 7048  infcinf 7049  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061  -_𝑒cxne 9844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-sub 8199  df-neg 8200  df-xneg 9847

This theorem is referenced by:  xrminmax  11430