Theorem infxrnegsupex 11190

Description: The infimum of a set of extended reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrnegsupex.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
infxrnegsupex.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
infxrnegsupex	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infxrnegsupex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9724	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3		infxrnegsupex.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4	2, 3	infclti 6979	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		xnegneg 9760	. . 3 ⊢ (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
7		xnegeq 9754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → -𝑒𝑤 = -𝑒𝑧)
8	7	cbvmptv 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑧)
9	8	mptpreima 5091	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}
10		eqid 2164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
11	10	xrnegiso 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
12	11	simpri 112	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
13	12	imaeq1i 4937	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
14	9, 13	eqtr3i 2187	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
15	14	supeq1i 6944	. . . . 5 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < )
16	11	simpli 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*)
17		isocnv 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) → ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)
19		isoeq1 5763	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) → (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)))
20	12, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
21	18, 20	mpbi 144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*)
22	21	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ*, ℝ*))
23		infxrnegsupex.ss	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
24	3	cnvinfex 6974	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))
25	2	cnvti 6975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ* ∧ 𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓◡ < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔◡ < 𝑓)))
26	22, 23, 24, 25	supisoti 6966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )))
27	15, 26	syl5eq 2209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )))
28		df-inf 6941	. . . . . . 7 ⊢ inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )
29	28	eqcomi 2168	. . . . . 6 ⊢ sup(𝐴, ℝ*, ◡ < ) = inf(𝐴, ℝ*, < )
30	29	fveq2i 5483	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < ))
31		eqidd 2165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
32		xnegeq 9754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < ) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
33	32	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < )) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
34	4	xnegcld 9782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
35	31, 33, 4, 34	fvmptd 5561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
36	30, 35	syl5eq 2209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, ◡ < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
37	27, 36	eqtr2d 2198	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
38		xnegeq 9754	. . 3 ⊢ (-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ) → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
39	37, 38	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))
40	6, 39	eqtr3d 2199	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  ∃wrex 2443  {crab 2446   ⊆ wss 3111   class class class wbr 3976   ↦ cmpt 4037  ^◡ccnv 4597   “ cima 4601  ‘cfv 5182   Isom wiso 5183  supcsup 6938  infcinf 6939  ℝ^*cxr 7923   < clt 7924  -_𝑒cxne 9696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-sub 8062  df-neg 8063  df-xneg 9699

This theorem is referenced by:  xrminmax  11192