Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infxrnegsupex GIF version

Theorem infxrnegsupex 11063
 Description: The infimum of a set of extended reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrnegsupex.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
infxrnegsupex.ss (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
infxrnegsupex (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infxrnegsupex
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9612 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 infxrnegsupex.ex . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
42, 3infclti 6917 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 xnegneg 9645 . . 3 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
64, 5syl 14 . 2 (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
7 xnegeq 9639 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → -𝑒𝑤 = -𝑒𝑧)
87cbvmptv 4031 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑧)
98mptpreima 5039 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}
10 eqid 2140 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
1110xrnegiso 11062 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
1211simpri 112 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)
1312imaeq1i 4885 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
149, 13eqtr3i 2163 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴)
1514supeq1i 6882 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < )
1611simpli 110 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*)
17 isocnv 5719 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*) → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*)
19 isoeq1 5709 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*)))
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*))
2118, 20mpbi 144 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*)
2221a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) Isom < , < (ℝ*, ℝ*))
23 infxrnegsupex.ss . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
243cnvinfex 6912 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
252cnvti 6913 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
2622, 23, 24, 25supisoti 6904 . . . . 5 (𝜑 → sup(((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) “ 𝐴), ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, < )))
2715, 26syl5eq 2185 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, < )))
28 df-inf 6879 . . . . . . 7 inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < )
2928eqcomi 2144 . . . . . 6 sup(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < )
3029fveq2i 5431 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, < )) = ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < ))
31 eqidd 2141 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤))
32 xnegeq 9639 . . . . . . 7 (𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < ) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
3332adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 = inf(𝐴, ℝ*, < )) → -𝑒𝑤 = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
344xnegcld 9667 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3531, 33, 4, 34fvmptd 5509 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘inf(𝐴, ℝ*, < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
3630, 35syl5eq 2185 . . . 4 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑤)‘sup(𝐴, ℝ*, < )) = -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ))
3727, 36eqtr2d 2174 . . 3 (𝜑 → -𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ))
38 xnegeq 9639 . . 3 (-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ) → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ))
3937, 38syl 14 . 2 (𝜑 → -𝑒-𝑒inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ))
406, 39eqtr3d 2175 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧𝐴}, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418  {crab 2421   ⊆ wss 3075   class class class wbr 3936   ↦ cmpt 3996  ◡ccnv 4545   “ cima 4549  ‘cfv 5130   Isom wiso 5131  supcsup 6876  infcinf 6877  ℝ*cxr 7822   < clt 7823  -𝑒cxne 9585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-sub 7958  df-neg 7959  df-xneg 9588 This theorem is referenced by:  xrminmax  11065
 Copyright terms: Public domain W3C validator