ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infglbti GIF version

Theorem infglbti 7024
Description: An infimum is the greatest lower bound. See also infclti 7022 and inflbti 7023. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infclti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
infclti.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
infglbti (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem infglbti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6984 . . . . 5 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
21breq1i 4011 . . . 4 (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶)
3 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
4 infclti.ti . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
54cnvti 7018 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
6 infclti.ex . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
76cnvinfex 7017 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
85, 7supclti 6997 . . . . . 6 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
98adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
10 brcnvg 4809 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶))
1110bicomd 141 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
123, 9, 11syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
132, 12bitrid 192 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
145, 7suplubti 6999 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐴𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
1514expdimp 259 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
16 vex 2741 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 brcnvg 4809 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝑧 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
183, 16, 17sylancl 413 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
1918rexbidv 2478 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2015, 19sylibd 149 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2113, 20sylbid 150 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2221expimpd 363 1 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2738   class class class wbr 4004  ccnv 4626  supcsup 6981  infcinf 6982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-riota 5831  df-sup 6983  df-inf 6984
This theorem is referenced by:  infnlbti  7025  zssinfcl  11949
  Copyright terms: Public domain W3C validator