ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infglbti GIF version

Theorem infglbti 6800
Description: An infimum is the greatest lower bound. See also infclti 6798 and inflbti 6799. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infclti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
infclti.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
infglbti (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem infglbti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6760 . . . . 5 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
21breq1i 3874 . . . 4 (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶)
3 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
4 infclti.ti . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
54cnvti 6794 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
6 infclti.ex . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
76cnvinfex 6793 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
85, 7supclti 6773 . . . . . 6 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
98adantr 271 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
10 brcnvg 4648 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶))
1110bicomd 140 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
123, 9, 11syl2anc 404 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
132, 12syl5bb 191 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
145, 7suplubti 6775 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐴𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
1514expdimp 256 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
16 vex 2636 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 brcnvg 4648 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝑧 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
183, 16, 17sylancl 405 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
1918rexbidv 2392 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2015, 19sylibd 148 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2113, 20sylbid 149 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2221expimpd 356 1 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1445  wral 2370  wrex 2371  Vcvv 2633   class class class wbr 3867  ccnv 4466  supcsup 6757  infcinf 6758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-cnv 4475  df-iota 5014  df-riota 5646  df-sup 6759  df-inf 6760
This theorem is referenced by:  infnlbti  6801  zssinfcl  11387
  Copyright terms: Public domain W3C validator