ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infrenegsupex GIF version

Theorem infrenegsupex 9594
Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infrenegsupex.ex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
infrenegsupex.ss (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
Assertion
Ref Expression
infrenegsupex (πœ‘ β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsupex
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 8037 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ (Β¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ Β¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 277 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ (Β¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ Β¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 infrenegsupex.ex . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑦 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
42, 3infclti 7022 . . . 4 (πœ‘ β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
54recnd 7986 . . 3 (πœ‘ β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ β„‚)
65negnegd 8259 . 2 (πœ‘ β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
7 negeq 8150 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ -𝑀 = -𝑧)
87cbvmptv 4100 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
98mptpreima 5123 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}
10 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
1110negiso 8912 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) ∧ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀))
1211simpri 113 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)
1312imaeq1i 4968 . . . . . . 7 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
149, 13eqtr3i 2200 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴)
1514supeq1i 6987 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < )
1611simpli 111 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ)
17 isocnv 5812 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom < , β—‘ < (ℝ, ℝ) β†’ β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
19 isoeq1 5802 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β†’ (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)))
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
2118, 20mpbi 145 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ)
2221a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) Isom β—‘ < , < (ℝ, ℝ))
23 infrenegsupex.ss . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
243cnvinfex 7017 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯β—‘ < 𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝑦◑ < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑦◑ < 𝑧)))
252cnvti 7018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ (Β¬ 𝑓◑ < 𝑔 ∧ Β¬ 𝑔◑ < 𝑓)))
2622, 23, 24, 25supisoti 7009 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) β€œ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
2715, 26eqtrid 2222 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )))
28 df-inf 6984 . . . . . . 7 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )
2928eqcomi 2181 . . . . . 6 sup(𝐴, ℝ, β—‘ < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
3029fveq2i 5519 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < ))
31 eqidd 2178 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀))
32 negeq 8150 . . . . . . 7 (𝑀 = inf(𝐴, ℝ, < ) β†’ -𝑀 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
3332adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = inf(𝐴, ℝ, < )) β†’ -𝑀 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
345negcld 8255 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ β„‚)
3531, 33, 4, 34fvmptd 5598 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
3630, 35eqtrid 2222 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ -𝑀)β€˜sup(𝐴, ℝ, β—‘ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
3727, 36eqtr2d 2211 . . 3 (πœ‘ β†’ -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
3837negeqd 8152 . 2 (πœ‘ β†’ --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
396, 38eqtr3d 2212 1 (πœ‘ β†’ inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  {crab 2459   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  β—‘ccnv 4626   β€œ cima 4630  β€˜cfv 5217   Isom wiso 5218  supcsup 6981  infcinf 6982  β„‚cc 7809  β„cr 7810   < clt 7992  -cneg 8129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131
This theorem is referenced by:  supminfex  9597  minmax  11238  infssuzcldc  11952
  Copyright terms: Public domain W3C validator