Theorem opelxpi 4692

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4690	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3622   × cxp 4658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-opab 4092  df-xp 4666

This theorem is referenced by:  opelxpd  4693  opelvvg  4709  opelvv  4710  opbrop  4739  fliftrel  5836  fnotovb  5962  ovi3  6057  ovres  6060  fovcdm  6063  fnovrn  6068  ovconst2  6072  oprab2co  6273  1stconst  6276  2ndconst  6277  f1od2  6290  brdifun  6616  ecopqsi  6646  brecop  6681  th3q  6696  xpcomco  6882  xpf1o  6902  xpmapenlem  6907  djulclr  7110  djurclr  7111  djulcl  7112  djurcl  7113  djuf1olem  7114  cc2lem  7328  addpiord  7378  mulpiord  7379  enqeceq  7421  1nq  7428  addpipqqslem  7431  mulpipq  7434  mulpipqqs  7435  addclnq  7437  mulclnq  7438  recexnq  7452  ltexnqq  7470  prarloclemarch  7480  prarloclemarch2  7481  nnnq  7484  enq0breq  7498  enq0eceq  7499  nqnq0  7503  addnnnq0  7511  mulnnnq0  7512  addclnq0  7513  mulclnq0  7514  nqpnq0nq  7515  prarloclemlt  7555  prarloclemlo  7556  prarloclemcalc  7564  genpelxp  7573  nqprm  7604  ltexprlempr  7670  recexprlempr  7694  cauappcvgprlemcl  7715  cauappcvgprlemladd  7720  caucvgprlemcl  7738  caucvgprprlemcl  7766  enreceq  7798  addsrpr  7807  mulsrpr  7808  0r  7812  1sr  7813  m1r  7814  addclsr  7815  mulclsr  7816  prsrcl  7846  mappsrprg  7866  addcnsr  7896  mulcnsr  7897  addcnsrec  7904  mulcnsrec  7905  pitonnlem2  7909  pitonn  7910  pitore  7912  recnnre  7913  axaddcl  7926  axmulcl  7928  xrlenlt  8086  frecuzrdgg  10490  frecuzrdgsuctlem  10497  seq3val  10534  cnrecnv  11057  eucalgf  12196  eucalg  12200  qredeu  12238  qnumdenbi  12333  crth  12365  phimullem  12366  setscom  12661  setsslid  12672  imasaddfnlemg  12900  imasaddflemg  12902  txbas  14437  upxp  14451  uptx  14453  txlm  14458  cnmpt21  14470  txswaphmeolem  14499  txswaphmeo  14500  comet  14678  qtopbasss  14700  cnmetdval  14708  remetdval  14726  tgqioo  14734  dvcnp2cntop  14878  dvef  14906  djucllem  15362  pwle2  15559