Theorem opelxpi 4806

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4804	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   × cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  opelxpd  4807  opelvvg  4824  opelvv  4825  opbrop  4854  fnbrfvb2  5745  fliftrel  5998  fnotovb  6131  ovi3  6226  ovres  6229  fovcdm  6232  fnovrn  6237  ovconst2  6241  oprab2co  6454  1stconst  6457  2ndconst  6458  f1od2  6471  brdifun  6834  ecopqsi  6864  brecop  6899  th3q  6914  xpcomco  7124  xpf1o  7144  xpmapenlem  7149  djulclr  7389  djurclr  7390  djulcl  7391  djurcl  7392  djuf1olem  7393  cc2lem  7632  addpiord  7683  mulpiord  7684  enqeceq  7726  1nq  7733  addpipqqslem  7736  mulpipq  7739  mulpipqqs  7740  addclnq  7742  mulclnq  7743  recexnq  7757  ltexnqq  7775  prarloclemarch  7785  prarloclemarch2  7786  nnnq  7789  enq0breq  7803  enq0eceq  7804  nqnq0  7808  addnnnq0  7816  mulnnnq0  7817  addclnq0  7818  mulclnq0  7819  nqpnq0nq  7820  prarloclemlt  7860  prarloclemlo  7861  prarloclemcalc  7869  genpelxp  7878  nqprm  7909  ltexprlempr  7975  recexprlempr  7999  cauappcvgprlemcl  8020  cauappcvgprlemladd  8025  caucvgprlemcl  8043  caucvgprprlemcl  8071  enreceq  8103  addsrpr  8112  mulsrpr  8113  0r  8117  1sr  8118  m1r  8119  addclsr  8120  mulclsr  8121  prsrcl  8151  mappsrprg  8171  addcnsr  8201  mulcnsr  8202  addcnsrec  8209  mulcnsrec  8210  pitonnlem2  8214  pitonn  8215  pitore  8217  recnnre  8218  axaddcl  8231  axmulcl  8233  xrlenlt  8390  frecuzrdgg  10853  frecuzrdgsuctlem  10860  seq3val  10897  swrdval  11420  cnrecnv  11676  eucalgf  12833  eucalg  12837  qredeu  12875  qnumdenbi  12970  crth  13002  phimullem  13003  setscom  13392  setsslid  13403  imasaddfnlemg  13635  imasaddflemg  13637  txbas  15359  upxp  15373  uptx  15375  txlm  15380  cnmpt21  15392  txswaphmeolem  15421  txswaphmeo  15422  comet  15600  qtopbasss  15622  cnmetdval  15630  remetdval  15648  tgqioo  15656  dvcnp2cntop  15800  dvef  15828  djucllem  16828  pwle2  17028