Theorem opelxpi 4695

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4693	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625   × cxp 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-xp 4669

This theorem is referenced by:  opelxpd  4696  opelvvg  4712  opelvv  4713  opbrop  4742  fliftrel  5839  fnotovb  5965  ovi3  6060  ovres  6063  fovcdm  6066  fnovrn  6071  ovconst2  6075  oprab2co  6276  1stconst  6279  2ndconst  6280  f1od2  6293  brdifun  6619  ecopqsi  6649  brecop  6684  th3q  6699  xpcomco  6885  xpf1o  6905  xpmapenlem  6910  djulclr  7115  djurclr  7116  djulcl  7117  djurcl  7118  djuf1olem  7119  cc2lem  7333  addpiord  7383  mulpiord  7384  enqeceq  7426  1nq  7433  addpipqqslem  7436  mulpipq  7439  mulpipqqs  7440  addclnq  7442  mulclnq  7443  recexnq  7457  ltexnqq  7475  prarloclemarch  7485  prarloclemarch2  7486  nnnq  7489  enq0breq  7503  enq0eceq  7504  nqnq0  7508  addnnnq0  7516  mulnnnq0  7517  addclnq0  7518  mulclnq0  7519  nqpnq0nq  7520  prarloclemlt  7560  prarloclemlo  7561  prarloclemcalc  7569  genpelxp  7578  nqprm  7609  ltexprlempr  7675  recexprlempr  7699  cauappcvgprlemcl  7720  cauappcvgprlemladd  7725  caucvgprlemcl  7743  caucvgprprlemcl  7771  enreceq  7803  addsrpr  7812  mulsrpr  7813  0r  7817  1sr  7818  m1r  7819  addclsr  7820  mulclsr  7821  prsrcl  7851  mappsrprg  7871  addcnsr  7901  mulcnsr  7902  addcnsrec  7909  mulcnsrec  7910  pitonnlem2  7914  pitonn  7915  pitore  7917  recnnre  7918  axaddcl  7931  axmulcl  7933  xrlenlt  8091  frecuzrdgg  10508  frecuzrdgsuctlem  10515  seq3val  10552  cnrecnv  11075  eucalgf  12223  eucalg  12227  qredeu  12265  qnumdenbi  12360  crth  12392  phimullem  12393  setscom  12718  setsslid  12729  imasaddfnlemg  12957  imasaddflemg  12959  txbas  14494  upxp  14508  uptx  14510  txlm  14515  cnmpt21  14527  txswaphmeolem  14556  txswaphmeo  14557  comet  14735  qtopbasss  14757  cnmetdval  14765  remetdval  14783  tgqioo  14791  dvcnp2cntop  14935  dvef  14963  djucllem  15446  pwle2  15643