Theorem opelxpi 4652

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4650	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2146  ⟨cop 3592   × cxp 4618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-opab 4060  df-xp 4626

This theorem is referenced by:  opelxpd  4653  opelvvg  4669  opelvv  4670  opbrop  4699  fliftrel  5783  fnotovb  5908  ovi3  6001  ovres  6004  fovcdm  6007  fnovrn  6012  ovconst2  6016  oprab2co  6209  1stconst  6212  2ndconst  6213  f1od2  6226  brdifun  6552  ecopqsi  6580  brecop  6615  th3q  6630  xpcomco  6816  xpf1o  6834  xpmapenlem  6839  djulclr  7038  djurclr  7039  djulcl  7040  djurcl  7041  djuf1olem  7042  cc2lem  7240  addpiord  7290  mulpiord  7291  enqeceq  7333  1nq  7340  addpipqqslem  7343  mulpipq  7346  mulpipqqs  7347  addclnq  7349  mulclnq  7350  recexnq  7364  ltexnqq  7382  prarloclemarch  7392  prarloclemarch2  7393  nnnq  7396  enq0breq  7410  enq0eceq  7411  nqnq0  7415  addnnnq0  7423  mulnnnq0  7424  addclnq0  7425  mulclnq0  7426  nqpnq0nq  7427  prarloclemlt  7467  prarloclemlo  7468  prarloclemcalc  7476  genpelxp  7485  nqprm  7516  ltexprlempr  7582  recexprlempr  7606  cauappcvgprlemcl  7627  cauappcvgprlemladd  7632  caucvgprlemcl  7650  caucvgprprlemcl  7678  enreceq  7710  addsrpr  7719  mulsrpr  7720  0r  7724  1sr  7725  m1r  7726  addclsr  7727  mulclsr  7728  prsrcl  7758  mappsrprg  7778  addcnsr  7808  mulcnsr  7809  addcnsrec  7816  mulcnsrec  7817  pitonnlem2  7821  pitonn  7822  pitore  7824  recnnre  7825  axaddcl  7838  axmulcl  7840  xrlenlt  7996  frecuzrdgg  10386  frecuzrdgsuctlem  10393  seq3val  10428  cnrecnv  10887  eucalgf  12022  eucalg  12026  qredeu  12064  qnumdenbi  12159  crth  12191  phimullem  12192  setscom  12469  setsslid  12479  txbas  13338  upxp  13352  uptx  13354  txlm  13359  cnmpt21  13371  txswaphmeolem  13400  txswaphmeo  13401  comet  13579  qtopbasss  13601  cnmetdval  13609  remetdval  13619  tgqioo  13627  dvcnp2cntop  13743  dvef  13768  djucllem  14121  pwle2  14317