Theorem opelxpi 4659

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4657	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3596   × cxp 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-opab 4066  df-xp 4633

This theorem is referenced by:  opelxpd  4660  opelvvg  4676  opelvv  4677  opbrop  4706  fliftrel  5793  fnotovb  5918  ovi3  6011  ovres  6014  fovcdm  6017  fnovrn  6022  ovconst2  6026  oprab2co  6219  1stconst  6222  2ndconst  6223  f1od2  6236  brdifun  6562  ecopqsi  6590  brecop  6625  th3q  6640  xpcomco  6826  xpf1o  6844  xpmapenlem  6849  djulclr  7048  djurclr  7049  djulcl  7050  djurcl  7051  djuf1olem  7052  cc2lem  7265  addpiord  7315  mulpiord  7316  enqeceq  7358  1nq  7365  addpipqqslem  7368  mulpipq  7371  mulpipqqs  7372  addclnq  7374  mulclnq  7375  recexnq  7389  ltexnqq  7407  prarloclemarch  7417  prarloclemarch2  7418  nnnq  7421  enq0breq  7435  enq0eceq  7436  nqnq0  7440  addnnnq0  7448  mulnnnq0  7449  addclnq0  7450  mulclnq0  7451  nqpnq0nq  7452  prarloclemlt  7492  prarloclemlo  7493  prarloclemcalc  7501  genpelxp  7510  nqprm  7541  ltexprlempr  7607  recexprlempr  7631  cauappcvgprlemcl  7652  cauappcvgprlemladd  7657  caucvgprlemcl  7675  caucvgprprlemcl  7703  enreceq  7735  addsrpr  7744  mulsrpr  7745  0r  7749  1sr  7750  m1r  7751  addclsr  7752  mulclsr  7753  prsrcl  7783  mappsrprg  7803  addcnsr  7833  mulcnsr  7834  addcnsrec  7841  mulcnsrec  7842  pitonnlem2  7846  pitonn  7847  pitore  7849  recnnre  7850  axaddcl  7863  axmulcl  7865  xrlenlt  8022  frecuzrdgg  10416  frecuzrdgsuctlem  10423  seq3val  10458  cnrecnv  10919  eucalgf  12055  eucalg  12059  qredeu  12097  qnumdenbi  12192  crth  12224  phimullem  12225  setscom  12502  setsslid  12513  imasaddfnlemg  12735  imasaddflemg  12737  txbas  13761  upxp  13775  uptx  13777  txlm  13782  cnmpt21  13794  txswaphmeolem  13823  txswaphmeo  13824  comet  14002  qtopbasss  14024  cnmetdval  14032  remetdval  14042  tgqioo  14050  dvcnp2cntop  14166  dvef  14191  djucllem  14555  pwle2  14751