Theorem opelxpi 4636

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4634	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579   × cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  opelxpd  4637  opelvvg  4653  opelvv  4654  opbrop  4683  fliftrel  5760  fnotovb  5885  ovi3  5978  ovres  5981  fovrn  5984  fnovrn  5989  ovconst2  5993  oprab2co  6186  1stconst  6189  2ndconst  6190  f1od2  6203  brdifun  6528  ecopqsi  6556  brecop  6591  th3q  6606  xpcomco  6792  xpf1o  6810  xpmapenlem  6815  djulclr  7014  djurclr  7015  djulcl  7016  djurcl  7017  djuf1olem  7018  cc2lem  7207  addpiord  7257  mulpiord  7258  enqeceq  7300  1nq  7307  addpipqqslem  7310  mulpipq  7313  mulpipqqs  7314  addclnq  7316  mulclnq  7317  recexnq  7331  ltexnqq  7349  prarloclemarch  7359  prarloclemarch2  7360  nnnq  7363  enq0breq  7377  enq0eceq  7378  nqnq0  7382  addnnnq0  7390  mulnnnq0  7391  addclnq0  7392  mulclnq0  7393  nqpnq0nq  7394  prarloclemlt  7434  prarloclemlo  7435  prarloclemcalc  7443  genpelxp  7452  nqprm  7483  ltexprlempr  7549  recexprlempr  7573  cauappcvgprlemcl  7594  cauappcvgprlemladd  7599  caucvgprlemcl  7617  caucvgprprlemcl  7645  enreceq  7677  addsrpr  7686  mulsrpr  7687  0r  7691  1sr  7692  m1r  7693  addclsr  7694  mulclsr  7695  prsrcl  7725  mappsrprg  7745  addcnsr  7775  mulcnsr  7776  addcnsrec  7783  mulcnsrec  7784  pitonnlem2  7788  pitonn  7789  pitore  7791  recnnre  7792  axaddcl  7805  axmulcl  7807  xrlenlt  7963  frecuzrdgg  10351  frecuzrdgsuctlem  10358  seq3val  10393  cnrecnv  10852  eucalgf  11987  eucalg  11991  qredeu  12029  qnumdenbi  12124  crth  12156  phimullem  12157  setscom  12434  setsslid  12444  txbas  12908  upxp  12922  uptx  12924  txlm  12929  cnmpt21  12941  txswaphmeolem  12970  txswaphmeo  12971  comet  13149  qtopbasss  13171  cnmetdval  13179  remetdval  13189  tgqioo  13197  dvcnp2cntop  13313  dvef  13338  djucllem  13691  pwle2  13888