Theorem opelxpi 4801

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4799	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3708   × cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188  df-xp 4775

This theorem is referenced by:  opelxpd  4802  opelvvg  4819  opelvv  4820  opbrop  4849  fnbrfvb2  5739  fliftrel  5988  fnotovb  6121  ovi3  6216  ovres  6219  fovcdm  6222  fnovrn  6227  ovconst2  6231  oprab2co  6444  1stconst  6447  2ndconst  6448  f1od2  6461  brdifun  6824  ecopqsi  6854  brecop  6889  th3q  6904  xpcomco  7114  xpf1o  7134  xpmapenlem  7139  djulclr  7379  djurclr  7380  djulcl  7381  djurcl  7382  djuf1olem  7383  cc2lem  7622  addpiord  7673  mulpiord  7674  enqeceq  7716  1nq  7723  addpipqqslem  7726  mulpipq  7729  mulpipqqs  7730  addclnq  7732  mulclnq  7733  recexnq  7747  ltexnqq  7765  prarloclemarch  7775  prarloclemarch2  7776  nnnq  7779  enq0breq  7793  enq0eceq  7794  nqnq0  7798  addnnnq0  7806  mulnnnq0  7807  addclnq0  7808  mulclnq0  7809  nqpnq0nq  7810  prarloclemlt  7850  prarloclemlo  7851  prarloclemcalc  7859  genpelxp  7868  nqprm  7899  ltexprlempr  7965  recexprlempr  7989  cauappcvgprlemcl  8010  cauappcvgprlemladd  8015  caucvgprlemcl  8033  caucvgprprlemcl  8061  enreceq  8093  addsrpr  8102  mulsrpr  8103  0r  8107  1sr  8108  m1r  8109  addclsr  8110  mulclsr  8111  prsrcl  8141  mappsrprg  8161  addcnsr  8191  mulcnsr  8192  addcnsrec  8199  mulcnsrec  8200  pitonnlem2  8204  pitonn  8205  pitore  8207  recnnre  8208  axaddcl  8221  axmulcl  8223  xrlenlt  8380  frecuzrdgg  10831  frecuzrdgsuctlem  10838  seq3val  10875  swrdval  11398  cnrecnv  11654  eucalgf  12811  eucalg  12815  qredeu  12853  qnumdenbi  12948  crth  12980  phimullem  12981  setscom  13370  setsslid  13381  imasaddfnlemg  13612  imasaddflemg  13614  txbas  15282  upxp  15296  uptx  15298  txlm  15303  cnmpt21  15315  txswaphmeolem  15344  txswaphmeo  15345  comet  15523  qtopbasss  15545  cnmetdval  15553  remetdval  15571  tgqioo  15579  dvcnp2cntop  15723  dvef  15751  djucllem  16742  pwle2  16942