Theorem opelxpi 4643

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4641	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   × cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by:  opelxpd  4644  opelvvg  4660  opelvv  4661  opbrop  4690  fliftrel  5771  fnotovb  5896  ovi3  5989  ovres  5992  fovrn  5995  fnovrn  6000  ovconst2  6004  oprab2co  6197  1stconst  6200  2ndconst  6201  f1od2  6214  brdifun  6540  ecopqsi  6568  brecop  6603  th3q  6618  xpcomco  6804  xpf1o  6822  xpmapenlem  6827  djulclr  7026  djurclr  7027  djulcl  7028  djurcl  7029  djuf1olem  7030  cc2lem  7228  addpiord  7278  mulpiord  7279  enqeceq  7321  1nq  7328  addpipqqslem  7331  mulpipq  7334  mulpipqqs  7335  addclnq  7337  mulclnq  7338  recexnq  7352  ltexnqq  7370  prarloclemarch  7380  prarloclemarch2  7381  nnnq  7384  enq0breq  7398  enq0eceq  7399  nqnq0  7403  addnnnq0  7411  mulnnnq0  7412  addclnq0  7413  mulclnq0  7414  nqpnq0nq  7415  prarloclemlt  7455  prarloclemlo  7456  prarloclemcalc  7464  genpelxp  7473  nqprm  7504  ltexprlempr  7570  recexprlempr  7594  cauappcvgprlemcl  7615  cauappcvgprlemladd  7620  caucvgprlemcl  7638  caucvgprprlemcl  7666  enreceq  7698  addsrpr  7707  mulsrpr  7708  0r  7712  1sr  7713  m1r  7714  addclsr  7715  mulclsr  7716  prsrcl  7746  mappsrprg  7766  addcnsr  7796  mulcnsr  7797  addcnsrec  7804  mulcnsrec  7805  pitonnlem2  7809  pitonn  7810  pitore  7812  recnnre  7813  axaddcl  7826  axmulcl  7828  xrlenlt  7984  frecuzrdgg  10372  frecuzrdgsuctlem  10379  seq3val  10414  cnrecnv  10874  eucalgf  12009  eucalg  12013  qredeu  12051  qnumdenbi  12146  crth  12178  phimullem  12179  setscom  12456  setsslid  12466  txbas  13052  upxp  13066  uptx  13068  txlm  13073  cnmpt21  13085  txswaphmeolem  13114  txswaphmeo  13115  comet  13293  qtopbasss  13315  cnmetdval  13323  remetdval  13333  tgqioo  13341  dvcnp2cntop  13457  dvef  13482  djucllem  13835  pwle2  14031