Theorem opelxpi 4707

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4705	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2176  ⟨cop 3636   × cxp 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681

This theorem is referenced by:  opelxpd  4708  opelvvg  4724  opelvv  4725  opbrop  4754  fliftrel  5861  fnotovb  5988  ovi3  6083  ovres  6086  fovcdm  6089  fnovrn  6094  ovconst2  6098  oprab2co  6304  1stconst  6307  2ndconst  6308  f1od2  6321  brdifun  6647  ecopqsi  6677  brecop  6712  th3q  6727  xpcomco  6921  xpf1o  6941  xpmapenlem  6946  djulclr  7151  djurclr  7152  djulcl  7153  djurcl  7154  djuf1olem  7155  cc2lem  7378  addpiord  7429  mulpiord  7430  enqeceq  7472  1nq  7479  addpipqqslem  7482  mulpipq  7485  mulpipqqs  7486  addclnq  7488  mulclnq  7489  recexnq  7503  ltexnqq  7521  prarloclemarch  7531  prarloclemarch2  7532  nnnq  7535  enq0breq  7549  enq0eceq  7550  nqnq0  7554  addnnnq0  7562  mulnnnq0  7563  addclnq0  7564  mulclnq0  7565  nqpnq0nq  7566  prarloclemlt  7606  prarloclemlo  7607  prarloclemcalc  7615  genpelxp  7624  nqprm  7655  ltexprlempr  7721  recexprlempr  7745  cauappcvgprlemcl  7766  cauappcvgprlemladd  7771  caucvgprlemcl  7789  caucvgprprlemcl  7817  enreceq  7849  addsrpr  7858  mulsrpr  7859  0r  7863  1sr  7864  m1r  7865  addclsr  7866  mulclsr  7867  prsrcl  7897  mappsrprg  7917  addcnsr  7947  mulcnsr  7948  addcnsrec  7955  mulcnsrec  7956  pitonnlem2  7960  pitonn  7961  pitore  7963  recnnre  7964  axaddcl  7977  axmulcl  7979  xrlenlt  8137  frecuzrdgg  10561  frecuzrdgsuctlem  10568  seq3val  10605  swrdval  11101  cnrecnv  11221  eucalgf  12377  eucalg  12381  qredeu  12419  qnumdenbi  12514  crth  12546  phimullem  12547  setscom  12872  setsslid  12883  imasaddfnlemg  13146  imasaddflemg  13148  txbas  14730  upxp  14744  uptx  14746  txlm  14751  cnmpt21  14763  txswaphmeolem  14792  txswaphmeo  14793  comet  14971  qtopbasss  14993  cnmetdval  15001  remetdval  15019  tgqioo  15027  dvcnp2cntop  15171  dvef  15199  djucllem  15736  pwle2  15935