Theorem opelxpi 4806

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4804	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   × cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  opelxpd  4807  opelvvg  4824  opelvv  4825  opbrop  4854  fnbrfvb2  5745  fliftrel  5998  fnotovb  6131  ovi3  6226  ovres  6229  fovcdm  6232  fnovrn  6237  ovconst2  6241  oprab2co  6454  1stconst  6457  2ndconst  6458  f1od2  6471  brdifun  6834  ecopqsi  6864  brecop  6899  th3q  6914  xpcomco  7124  xpf1o  7144  xpmapenlem  7149  djulclr  7390  djurclr  7391  djulcl  7392  djurcl  7393  djuf1olem  7394  cc2lem  7633  addpiord  7684  mulpiord  7685  enqeceq  7727  1nq  7734  addpipqqslem  7737  mulpipq  7740  mulpipqqs  7741  addclnq  7743  mulclnq  7744  recexnq  7758  ltexnqq  7776  prarloclemarch  7786  prarloclemarch2  7787  nnnq  7790  enq0breq  7804  enq0eceq  7805  nqnq0  7809  addnnnq0  7817  mulnnnq0  7818  addclnq0  7819  mulclnq0  7820  nqpnq0nq  7821  prarloclemlt  7861  prarloclemlo  7862  prarloclemcalc  7870  genpelxp  7879  nqprm  7910  ltexprlempr  7976  recexprlempr  8000  cauappcvgprlemcl  8021  cauappcvgprlemladd  8026  caucvgprlemcl  8044  caucvgprprlemcl  8072  enreceq  8104  addsrpr  8113  mulsrpr  8114  0r  8118  1sr  8119  m1r  8120  addclsr  8121  mulclsr  8122  prsrcl  8152  mappsrprg  8172  addcnsr  8202  mulcnsr  8203  addcnsrec  8210  mulcnsrec  8211  pitonnlem2  8215  pitonn  8216  pitore  8218  recnnre  8219  axaddcl  8232  axmulcl  8234  xrlenlt  8391  frecuzrdgg  10868  frecuzrdgsuctlem  10875  seq3val  10912  swrdval  11436  cnrecnv  11692  eucalgf  12852  eucalg  12856  qredeu  12894  qnumdenbi  12991  crth  13025  phimullem  13026  setscom  13444  setsslid  13455  imasaddfnlemg  13688  imasaddflemg  13690  txbas  15450  upxp  15464  uptx  15466  txlm  15471  cnmpt21  15483  txswaphmeolem  15512  txswaphmeo  15513  comet  15691  qtopbasss  15713  cnmetdval  15721  remetdval  15739  tgqioo  15747  dvcnp2cntop  15891  dvef  15919  djucllem  16994  pwle2  17194