Theorem qsexg 6827

Description: A quotient set exists. (Contributed by FL, 19-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qsexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 / 𝑅) ∈ V)

Proof of Theorem qsexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 6775	. 2 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = [𝑥]𝑅}
2		abrexexg 6313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = [𝑥]𝑅} ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2321	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 / 𝑅) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∃wrex 2523  Vcvv 2815  [cec 6767   / cqs 6768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-qs 6775

This theorem is referenced by:  qsex  6828