ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ecelqsi GIF version

Theorem ecelqsi 6583
Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ecelqsi.1 𝑅 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ecelqsi (𝐵𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi
StepHypRef Expression
1 ecelqsi.1 . 2 𝑅 ∈ V
2 ecelqsg 6582 . 2 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
31, 2mpan 424 1 (𝐵𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148  Vcvv 2737  [cec 6527   / cqs 6528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-cnv 4631  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-ec 6531  df-qs 6535
This theorem is referenced by:  ecopqsi  6584  th3q  6634  1nq  7356  addclnq  7365  mulclnq  7366  recexnq  7380  ltexnqq  7398  prarloclemarch  7408  prarloclemarch2  7409  nnnq  7412  nqnq0  7431  addnnnq0  7439  mulnnnq0  7440  addclnq0  7441  mulclnq0  7442  nqpnq0nq  7443  prarloclemlt  7483  prarloclemlo  7484  prarloclemcalc  7492  nqprm  7532  addsrpr  7735  mulsrpr  7736  0r  7740  1sr  7741  m1r  7742  addclsr  7743  mulclsr  7744  prsrcl  7774  mappsrprg  7794  suplocsrlemb  7796  pitonnlem2  7837  pitonn  7838  pitore  7840  recnnre  7841
  Copyright terms: Public domain W3C validator