Theorem ecelqsi 6753

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsg 6752	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  [cec 6695   / cqs 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-ec 6699  df-qs 6703

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6754  th3q  6804  1nq  7579  addclnq  7588  mulclnq  7589  recexnq  7603  ltexnqq  7621  prarloclemarch  7631  prarloclemarch2  7632  nnnq  7635  nqnq0  7654  addnnnq0  7662  mulnnnq0  7663  addclnq0  7664  mulclnq0  7665  nqpnq0nq  7666  prarloclemlt  7706  prarloclemlo  7707  prarloclemcalc  7715  nqprm  7755  addsrpr  7958  mulsrpr  7959  0r  7963  1sr  7964  m1r  7965  addclsr  7966  mulclsr  7967  prsrcl  7997  mappsrprg  8017  suplocsrlemb  8019  pitonnlem2  8060  pitonn  8061  pitore  8063  recnnre  8064