ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ecelqsi GIF version

Theorem ecelqsi 6451
Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ecelqsi.1 𝑅 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ecelqsi (𝐵𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi
StepHypRef Expression
1 ecelqsi.1 . 2 𝑅 ∈ V
2 ecelqsg 6450 . 2 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
31, 2mpan 420 1 (𝐵𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465  Vcvv 2660  [cec 6395   / cqs 6396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-ec 6399  df-qs 6403
This theorem is referenced by:  ecopqsi  6452  th3q  6502  1nq  7142  addclnq  7151  mulclnq  7152  recexnq  7166  ltexnqq  7184  prarloclemarch  7194  prarloclemarch2  7195  nnnq  7198  nqnq0  7217  addnnnq0  7225  mulnnnq0  7226  addclnq0  7227  mulclnq0  7228  nqpnq0nq  7229  prarloclemlt  7269  prarloclemlo  7270  prarloclemcalc  7278  nqprm  7318  addsrpr  7521  mulsrpr  7522  0r  7526  1sr  7527  m1r  7528  addclsr  7529  mulclsr  7530  prsrcl  7560  mappsrprg  7580  suplocsrlemb  7582  pitonnlem2  7623  pitonn  7624  pitore  7626  recnnre  7627
  Copyright terms: Public domain W3C validator