Theorem ecelqsi 6867

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsg 6866	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 428	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  [cec 6809   / cqs 6810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-ec 6813  df-qs 6817

This theorem is used by:  ecopqsi  6868  th3q  6918  1nq  7740  addclnq  7749  mulclnq  7750  recexnq  7764  ltexnqq  7782  prarloclemarch  7792  prarloclemarch2  7793  nnnq  7796  nqnq0  7815  addnnnq0  7823  mulnnnq0  7824  addclnq0  7825  mulclnq0  7826  nqpnq0nq  7827  prarloclemlt  7867  prarloclemlo  7868  prarloclemcalc  7876  nqprm  7916  addsrpr  8119  mulsrpr  8120  0r  8124  1sr  8125  m1r  8126  addclsr  8127  mulclsr  8128  prsrcl  8158  mappsrprg  8178  suplocsrlemb  8180  pitonnlem2  8221  pitonn  8222  pitore  8224  recnnre  8225