ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltpsrprg GIF version

Theorem ltpsrprg 7723
Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltpsrprg ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Proof of Theorem ltpsrprg
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐴P)
2 1pr 7474 . . . 4 1PP
3 enrex 7657 . . . . 5 ~R ∈ V
4 df-nr 7647 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
53, 4ecopqsi 6535 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1PP) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR)
61, 2, 5sylancl 410 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR)
7 simp2 983 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐵P)
83, 4ecopqsi 6535 . . . 4 ((𝐵P ∧ 1PP) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR)
97, 2, 8sylancl 410 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR)
10 simp3 984 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐶R)
11 ltasrg 7690 . . 3 (([⟨𝐴, 1P⟩] ~RR ∧ [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
126, 9, 10, 11syl3anc 1220 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
13 addcomprg 7498 . . . . 5 ((𝐴P ∧ 1PP) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
141, 2, 13sylancl 410 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
1514breq1d 3975 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
162a1i 9 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 1PP)
17 ltsrprg 7667 . . . 4 (((𝐴P ∧ 1PP) ∧ (𝐵P ∧ 1PP)) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
181, 16, 7, 16, 17syl22anc 1221 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
19 ltaprg 7539 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ 1PP) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
201, 7, 16, 19syl3anc 1220 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
2115, 18, 203bitr4d 219 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R𝐴<P 𝐵))
2212, 21bitr3d 189 1 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  cop 3563   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  [cec 6478  Pcnp 7211  1Pc1p 7212   +P cpp 7213  <P cltp 7215   ~R cer 7216  Rcnr 7217   +R cplr 7221   <R cltr 7223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-iltp 7390  df-enr 7646  df-nr 7647  df-plr 7648  df-ltr 7650
This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7726  suplocsrlempr  7727  suplocsrlem  7728
  Copyright terms: Public domain W3C validator