Theorem ltpsrprg 7958

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltpsrprg	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Proof of Theorem ltpsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐴 ∈ P)
2		1pr 7709	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
3		enrex 7892	. . . . 5 ⊢ ~R ∈ V
4		df-nr 7882	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
5	3, 4	ecopqsi 6707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
6	1, 2, 5	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
7		simp2 1003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐵 ∈ P)
8	3, 4	ecopqsi 6707	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R)
9	7, 2, 8	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R)
10		simp3 1004	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
11		ltasrg 7925	. . 3 ⊢ (([⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
13		addcomprg 7733	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
14	1, 2, 13	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
15	14	breq1d 4072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
16	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 1P ∈ P)
17		ltsrprg 7902	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
18	1, 16, 7, 16, 17	syl22anc 1253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
19		ltaprg 7774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
20	1, 7, 16, 19	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
21	15, 18, 20	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵))
22	12, 21	bitr3d 190	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ⟨cop 3649   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  [cec 6648  Pcnp 7446  1_Pc1p 7447   +_P cpp 7448  <_P cltp 7450   ~_R cer 7451  Rcnr 7452   +_R cplr 7456   <_R cltr 7458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-eprel 4357  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-1o 6532  df-2o 6533  df-oadd 6536  df-omul 6537  df-er 6650  df-ec 6652  df-qs 6656  df-ni 7459  df-pli 7460  df-mi 7461  df-lti 7462  df-plpq 7499  df-mpq 7500  df-enq 7502  df-nqqs 7503  df-plqqs 7504  df-mqqs 7505  df-1nqqs 7506  df-rq 7507  df-ltnqqs 7508  df-enq0 7579  df-nq0 7580  df-0nq0 7581  df-plq0 7582  df-mq0 7583  df-inp 7621  df-i1p 7622  df-iplp 7623  df-iltp 7625  df-enr 7881  df-nr 7882  df-plr 7883  df-ltr 7885

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7961  suplocsrlempr  7962  suplocsrlem  7963