Theorem ltpsrprg 7611

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltpsrprg	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Proof of Theorem ltpsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐴 ∈ P)
2		1pr 7362	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
3		enrex 7545	. . . . 5 ⊢ ~R ∈ V
4		df-nr 7535	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
5	3, 4	ecopqsi 6484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
6	1, 2, 5	sylancl 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
7		simp2 982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐵 ∈ P)
8	3, 4	ecopqsi 6484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R)
9	7, 2, 8	sylancl 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R)
10		simp3 983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
11		ltasrg 7578	. . 3 ⊢ (([⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
13		addcomprg 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
14	1, 2, 13	sylancl 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
15	14	breq1d 3939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
16	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 1P ∈ P)
17		ltsrprg 7555	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
18	1, 16, 7, 16, 17	syl22anc 1217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
19		ltaprg 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
20	1, 7, 16, 19	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
21	15, 18, 20	3bitr4d 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵))
22	12, 21	bitr3d 189	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  [cec 6427  Pcnp 7099  1_Pc1p 7100   +_P cpp 7101  <_P cltp 7103   ~_R cer 7104  Rcnr 7105   +_R cplr 7109   <_R cltr 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-iltp 7278  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-ltr 7538

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7614  suplocsrlempr  7615  suplocsrlem  7616