Theorem ltpsrprg 8006

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltpsrprg	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Proof of Theorem ltpsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐴 ∈ P)
2		1pr 7757	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
3		enrex 7940	. . . . 5 ⊢ ~R ∈ V
4		df-nr 7930	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
5	3, 4	ecopqsi 6750	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
6	1, 2, 5	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R)
7		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐵 ∈ P)
8	3, 4	ecopqsi 6750	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R)
9	7, 2, 8	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R)
10		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
11		ltasrg 7973	. . 3 ⊢ (([⟨𝐴, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
13		addcomprg 7781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
14	1, 2, 13	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
15	14	breq1d 4093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
16	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → 1P ∈ P)
17		ltsrprg 7950	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
18	1, 16, 7, 16, 17	syl22anc 1272	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
19		ltaprg 7822	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
20	1, 7, 16, 19	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
21	15, 18, 20	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵))
22	12, 21	bitr3d 190	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  [cec 6691  Pcnp 7494  1_Pc1p 7495   +_P cpp 7496  <_P cltp 7498   ~_R cer 7499  Rcnr 7500   +_R cplr 7504   <_R cltr 7506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4381  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-omul 6578  df-er 6693  df-ec 6695  df-qs 6699  df-ni 7507  df-pli 7508  df-mi 7509  df-lti 7510  df-plpq 7547  df-mpq 7548  df-enq 7550  df-nqqs 7551  df-plqqs 7552  df-mqqs 7553  df-1nqqs 7554  df-rq 7555  df-ltnqqs 7556  df-enq0 7627  df-nq0 7628  df-0nq0 7629  df-plq0 7630  df-mq0 7631  df-inp 7669  df-i1p 7670  df-iplp 7671  df-iltp 7673  df-enr 7929  df-nr 7930  df-plr 7931  df-ltr 7933

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  8009  suplocsrlempr  8010  suplocsrlem  8011