ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltpsrprg GIF version

Theorem ltpsrprg 7744
Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltpsrprg ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Proof of Theorem ltpsrprg
StepHypRef Expression
1 simp1 987 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐴P)
2 1pr 7495 . . . 4 1PP
3 enrex 7678 . . . . 5 ~R ∈ V
4 df-nr 7668 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
53, 4ecopqsi 6556 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1PP) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR)
61, 2, 5sylancl 410 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR)
7 simp2 988 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐵P)
83, 4ecopqsi 6556 . . . 4 ((𝐵P ∧ 1PP) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR)
97, 2, 8sylancl 410 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR)
10 simp3 989 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐶R)
11 ltasrg 7711 . . 3 (([⟨𝐴, 1P⟩] ~RR ∧ [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
126, 9, 10, 11syl3anc 1228 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
13 addcomprg 7519 . . . . 5 ((𝐴P ∧ 1PP) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
141, 2, 13sylancl 410 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
1514breq1d 3992 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
162a1i 9 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 1PP)
17 ltsrprg 7688 . . . 4 (((𝐴P ∧ 1PP) ∧ (𝐵P ∧ 1PP)) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
181, 16, 7, 16, 17syl22anc 1229 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
19 ltaprg 7560 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ 1PP) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
201, 7, 16, 19syl3anc 1228 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
2115, 18, 203bitr4d 219 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R𝐴<P 𝐵))
2212, 21bitr3d 189 1 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  w3a 968   = wceq 1343  wcel 2136  cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  [cec 6499  Pcnp 7232  1Pc1p 7233   +P cpp 7234  <P cltp 7236   ~R cer 7237  Rcnr 7238   +R cplr 7242   <R cltr 7244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-ltr 7671
This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7747  suplocsrlempr  7748  suplocsrlem  7749
  Copyright terms: Public domain W3C validator