ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltpsrprg GIF version

Theorem ltpsrprg 7780
Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltpsrprg ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))

Proof of Theorem ltpsrprg
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐴P)
2 1pr 7531 . . . 4 1PP
3 enrex 7714 . . . . 5 ~R ∈ V
4 df-nr 7704 . . . . 5 R = ((P × P) / ~R )
53, 4ecopqsi 6583 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1PP) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR)
61, 2, 5sylancl 413 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → [⟨𝐴, 1P⟩] ~RR)
7 simp2 998 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐵P)
83, 4ecopqsi 6583 . . . 4 ((𝐵P ∧ 1PP) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR)
97, 2, 8sylancl 413 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR)
10 simp3 999 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 𝐶R)
11 ltasrg 7747 . . 3 (([⟨𝐴, 1P⟩] ~RR ∧ [⟨𝐵, 1P⟩] ~RR𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
126, 9, 10, 11syl3anc 1238 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
13 addcomprg 7555 . . . . 5 ((𝐴P ∧ 1PP) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
141, 2, 13sylancl 413 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
1514breq1d 4010 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
162a1i 9 . . . 4 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → 1PP)
17 ltsrprg 7724 . . . 4 (((𝐴P ∧ 1PP) ∧ (𝐵P ∧ 1PP)) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
181, 16, 7, 16, 17syl22anc 1239 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵)))
19 ltaprg 7596 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ 1PP) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
201, 7, 16, 19syl3anc 1238 . . 3 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
2115, 18, 203bitr4d 220 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R𝐴<P 𝐵))
2212, 21bitr3d 190 1 ((𝐴P𝐵P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3594   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  [cec 6526  Pcnp 7268  1Pc1p 7269   +P cpp 7270  <P cltp 7272   ~R cer 7273  Rcnr 7274   +R cplr 7278   <R cltr 7280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-1o 6410  df-2o 6411  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-pli 7282  df-mi 7283  df-lti 7284  df-plpq 7321  df-mpq 7322  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-plqqs 7326  df-mqqs 7327  df-1nqqs 7328  df-rq 7329  df-ltnqqs 7330  df-enq0 7401  df-nq0 7402  df-0nq0 7403  df-plq0 7404  df-mq0 7405  df-inp 7443  df-i1p 7444  df-iplp 7445  df-iltp 7447  df-enr 7703  df-nr 7704  df-plr 7705  df-ltr 7707
This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7783  suplocsrlempr  7784  suplocsrlem  7785
  Copyright terms: Public domain W3C validator