ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashxp GIF version

Theorem hashxp 10805
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem hashxp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4640 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (โˆ… ร— ๐ต))
21fveq2d 5519 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)))
3 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
43oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
52, 4eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
6 xpeq1 4640 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐‘ฆ ร— ๐ต))
76fveq2d 5519 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)))
8 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
98oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
107, 9eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
11 xpeq1 4640 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต))
1211fveq2d 5519 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)))
13 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1413oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
1512, 14eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
16 xpeq1 4640 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ร— ๐ต) = (๐ด ร— ๐ต))
1716fveq2d 5519 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)))
18 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1918oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
2017, 19eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
21 0xp 4706 . . . . 5 (โˆ… ร— ๐ต) = โˆ…
2221fveq2i 5518 . . . 4 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…)
23 hash0 10775 . . . 4 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
2422, 23eqtri 2198 . . 3 (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = 0
2523oveq1i 5884 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))
26 hashcl 10760 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
2726nn0cnd 9230 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2827mul02d 8348 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
2928adantl 277 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (0 ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
3025, 29eqtrid 2222 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
3124, 30eqtr4id 2229 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆ… ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
32 oveq1 5881 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
3332adantl 277 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
34 xpundir 4683 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต) = ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))
3534fveq2i 5518 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต)))
36 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
37 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
38 xpfi 6928 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
3936, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
40 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ง โˆˆ V
41 snfig 6813 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {๐‘ง} โˆˆ Fin
43 xpfi 6928 . . . . . . . . . 10 (({๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
4442, 43mpan 424 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
4544ad3antlr 493 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
46 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
4746eldifbd 3141 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
48 inxp 4761 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต))
49 disjsn 3654 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
5049biimpri 133 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
5150xpeq1d 4649 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)))
52 0xp 4706 . . . . . . . . . . 11 (โˆ… ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…
5351, 52eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) ร— (๐ต โˆฉ ๐ต)) = โˆ…)
5448, 53eqtrid 2222 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…)
5547, 54syl 14 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…)
56 hashun 10784 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆฉ ({๐‘ง} ร— ๐ต)) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
5739, 45, 55, 56syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))))
5840snex 4185 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ง} โˆˆ V
5958a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ V)
60 xpcomeng 6827 . . . . . . . . . . 11 (({๐‘ง} โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ (๐ต ร— {๐‘ง}))
6159, 37, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ (๐ต ร— {๐‘ง}))
6240a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ V)
63 xpsneng 6821 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐‘ง โˆˆ V) โ†’ (๐ต ร— {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ต)
6437, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต ร— {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ต)
65 entr 6783 . . . . . . . . . 10 ((({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ (๐ต ร— {๐‘ง}) โˆง (๐ต ร— {๐‘ง}) โ‰ˆ ๐ต) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต)
6661, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต)
67 hashen 10763 . . . . . . . . . 10 ((({๐‘ง} ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต))
6845, 37, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต) โ†” ({๐‘ง} ร— ๐ต) โ‰ˆ ๐ต))
6966, 68mpbird 167 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
7069oveq2d 5890 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7157, 70eqtrd 2210 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ ร— ๐ต) โˆช ({๐‘ง} ร— ๐ต))) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7235, 71eqtrid 2222 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7372adantr 276 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
74 hashunsng 10786 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)))
7540, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
7675oveq1d 5889 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7736, 47, 76syl2anc 411 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
78 hashcl 10760 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
7978nn0cnd 9230 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8036, 79syl 14 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8137, 27syl 14 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
8280, 81adddirp1d 7983 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8377, 82eqtrd 2210 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8483adantr 276 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8533, 73, 843eqtr4d 2220 . . 3 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
8685ex 115 . 2 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต))))
87 simpl 109 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
885, 10, 15, 20, 31, 86, 87findcard2sd 6891 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2737   โˆ– cdif 3126   โˆช cun 3127   โˆฉ cin 3128   โŠ† wss 3129  โˆ…c0 3422  {csn 3592   class class class wbr 4003   ร— cxp 4624  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   โ‰ˆ cen 6737  Fincfn 6739  โ„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815  โ™ฏchash 10754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-ihash 10755
This theorem is referenced by:  crth  12223  phimullem  12224
  Copyright terms: Public domain W3C validator