Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | xpeq1 4640 |
. . . 4
โข (๐ฅ = โ
โ (๐ฅ ร ๐ต) = (โ
ร ๐ต)) |
2 | 1 | fveq2d 5519 |
. . 3
โข (๐ฅ = โ
โ
(โฏโ(๐ฅ ร
๐ต)) =
(โฏโ(โ
ร ๐ต))) |
3 | | fveq2 5515 |
. . . 4
โข (๐ฅ = โ
โ
(โฏโ๐ฅ) =
(โฏโโ
)) |
4 | 3 | oveq1d 5889 |
. . 3
โข (๐ฅ = โ
โ
((โฏโ๐ฅ) ยท
(โฏโ๐ต)) =
((โฏโโ
) ยท (โฏโ๐ต))) |
5 | 2, 4 | eqeq12d 2192 |
. 2
โข (๐ฅ = โ
โ
((โฏโ(๐ฅ ร
๐ต)) = ((โฏโ๐ฅ) ยท (โฏโ๐ต)) โ
(โฏโ(โ
ร ๐ต)) = ((โฏโโ
) ยท
(โฏโ๐ต)))) |
6 | | xpeq1 4640 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ฅ ร ๐ต) = (๐ฆ ร ๐ต)) |
7 | 6 | fveq2d 5519 |
. . 3
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (โฏโ(๐ฅ ร ๐ต)) = (โฏโ(๐ฆ ร ๐ต))) |
8 | | fveq2 5515 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (โฏโ๐ฅ) = (โฏโ๐ฆ)) |
9 | 8 | oveq1d 5889 |
. . 3
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ((โฏโ๐ฅ) ยท (โฏโ๐ต)) = ((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต))) |
10 | 7, 9 | eqeq12d 2192 |
. 2
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ((โฏโ(๐ฅ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฅ) ยท (โฏโ๐ต)) โ (โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต)))) |
11 | | xpeq1 4640 |
. . . 4
โข (๐ฅ = (๐ฆ โช {๐ง}) โ (๐ฅ ร ๐ต) = ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต)) |
12 | 11 | fveq2d 5519 |
. . 3
โข (๐ฅ = (๐ฆ โช {๐ง}) โ (โฏโ(๐ฅ ร ๐ต)) = (โฏโ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต))) |
13 | | fveq2 5515 |
. . . 4
โข (๐ฅ = (๐ฆ โช {๐ง}) โ (โฏโ๐ฅ) = (โฏโ(๐ฆ โช {๐ง}))) |
14 | 13 | oveq1d 5889 |
. . 3
โข (๐ฅ = (๐ฆ โช {๐ง}) โ ((โฏโ๐ฅ) ยท (โฏโ๐ต)) = ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต))) |
15 | 12, 14 | eqeq12d 2192 |
. 2
โข (๐ฅ = (๐ฆ โช {๐ง}) โ ((โฏโ(๐ฅ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฅ) ยท (โฏโ๐ต)) โ (โฏโ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต)) = ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต)))) |
16 | | xpeq1 4640 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฅ ร ๐ต) = (๐ด ร ๐ต)) |
17 | 16 | fveq2d 5519 |
. . 3
โข (๐ฅ = ๐ด โ (โฏโ(๐ฅ ร ๐ต)) = (โฏโ(๐ด ร ๐ต))) |
18 | | fveq2 5515 |
. . . 4
โข (๐ฅ = ๐ด โ (โฏโ๐ฅ) = (โฏโ๐ด)) |
19 | 18 | oveq1d 5889 |
. . 3
โข (๐ฅ = ๐ด โ ((โฏโ๐ฅ) ยท (โฏโ๐ต)) = ((โฏโ๐ด) ยท (โฏโ๐ต))) |
20 | 17, 19 | eqeq12d 2192 |
. 2
โข (๐ฅ = ๐ด โ ((โฏโ(๐ฅ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฅ) ยท (โฏโ๐ต)) โ (โฏโ(๐ด ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ด) ยท (โฏโ๐ต)))) |
21 | | 0xp 4706 |
. . . . 5
โข (โ
ร ๐ต) =
โ
|
22 | 21 | fveq2i 5518 |
. . . 4
โข
(โฏโ(โ
ร ๐ต)) =
(โฏโโ
) |
23 | | hash0 10775 |
. . . 4
โข
(โฏโโ
) = 0 |
24 | 22, 23 | eqtri 2198 |
. . 3
โข
(โฏโ(โ
ร ๐ต)) = 0 |
25 | 23 | oveq1i 5884 |
. . . 4
โข
((โฏโโ
) ยท (โฏโ๐ต)) = (0 ยท (โฏโ๐ต)) |
26 | | hashcl 10760 |
. . . . . . 7
โข (๐ต โ Fin โ
(โฏโ๐ต) โ
โ0) |
27 | 26 | nn0cnd 9230 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ Fin โ
(โฏโ๐ต) โ
โ) |
28 | 27 | mul02d 8348 |
. . . . 5
โข (๐ต โ Fin โ (0 ยท
(โฏโ๐ต)) =
0) |
29 | 28 | adantl 277 |
. . . 4
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ (0 ยท
(โฏโ๐ต)) =
0) |
30 | 25, 29 | eqtrid 2222 |
. . 3
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ
((โฏโโ
) ยท (โฏโ๐ต)) = 0) |
31 | 24, 30 | eqtr4id 2229 |
. 2
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ
(โฏโ(โ
ร ๐ต)) = ((โฏโโ
) ยท
(โฏโ๐ต))) |
32 | | oveq1 5881 |
. . . . 5
โข
((โฏโ(๐ฆ
ร ๐ต)) =
((โฏโ๐ฆ) ยท
(โฏโ๐ต)) โ
((โฏโ(๐ฆ ร
๐ต)) + (โฏโ๐ต)) = (((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
33 | 32 | adantl 277 |
. . . 4
โข
(((((๐ด โ Fin
โง ๐ต โ Fin) โง
๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โง (โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต))) โ ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ๐ต)) = (((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
34 | | xpundir 4683 |
. . . . . . 7
โข ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต) = ((๐ฆ ร ๐ต) โช ({๐ง} ร ๐ต)) |
35 | 34 | fveq2i 5518 |
. . . . . 6
โข
(โฏโ((๐ฆ
โช {๐ง}) ร ๐ต)) = (โฏโ((๐ฆ ร ๐ต) โช ({๐ง} ร ๐ต))) |
36 | | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ๐ฆ โ Fin) |
37 | | simpllr 534 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ๐ต โ Fin) |
38 | | xpfi 6928 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ฆ โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ (๐ฆ ร ๐ต) โ Fin) |
39 | 36, 37, 38 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (๐ฆ ร ๐ต) โ Fin) |
40 | | vex 2740 |
. . . . . . . . . . 11
โข ๐ง โ V |
41 | | snfig 6813 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ง โ V โ {๐ง} โ Fin) |
42 | 40, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
โข {๐ง} โ Fin |
43 | | xpfi 6928 |
. . . . . . . . . 10
โข (({๐ง} โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ Fin) |
44 | 42, 43 | mpan 424 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ต โ Fin โ ({๐ง} ร ๐ต) โ Fin) |
45 | 44 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ Fin) |
46 | | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ)) |
47 | 46 | eldifbd 3141 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ยฌ ๐ง โ ๐ฆ) |
48 | | inxp 4761 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ฆ ร ๐ต) โฉ ({๐ง} ร ๐ต)) = ((๐ฆ โฉ {๐ง}) ร (๐ต โฉ ๐ต)) |
49 | | disjsn 3654 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ฆ โฉ {๐ง}) = โ
โ ยฌ ๐ง โ ๐ฆ) |
50 | 49 | biimpri 133 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (ยฌ
๐ง โ ๐ฆ โ (๐ฆ โฉ {๐ง}) = โ
) |
51 | 50 | xpeq1d 4649 |
. . . . . . . . . . 11
โข (ยฌ
๐ง โ ๐ฆ โ ((๐ฆ โฉ {๐ง}) ร (๐ต โฉ ๐ต)) = (โ
ร (๐ต โฉ ๐ต))) |
52 | | 0xp 4706 |
. . . . . . . . . . 11
โข (โ
ร (๐ต โฉ ๐ต)) = โ
|
53 | 51, 52 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . 10
โข (ยฌ
๐ง โ ๐ฆ โ ((๐ฆ โฉ {๐ง}) ร (๐ต โฉ ๐ต)) = โ
) |
54 | 48, 53 | eqtrid 2222 |
. . . . . . . . 9
โข (ยฌ
๐ง โ ๐ฆ โ ((๐ฆ ร ๐ต) โฉ ({๐ง} ร ๐ต)) = โ
) |
55 | 47, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ((๐ฆ ร ๐ต) โฉ ({๐ง} ร ๐ต)) = โ
) |
56 | | hashun 10784 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ฆ ร ๐ต) โ Fin โง ({๐ง} ร ๐ต) โ Fin โง ((๐ฆ ร ๐ต) โฉ ({๐ง} ร ๐ต)) = โ
) โ (โฏโ((๐ฆ ร ๐ต) โช ({๐ง} ร ๐ต))) = ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ({๐ง} ร ๐ต)))) |
57 | 39, 45, 55, 56 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (โฏโ((๐ฆ ร ๐ต) โช ({๐ง} ร ๐ต))) = ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ({๐ง} ร ๐ต)))) |
58 | 40 | snex 4185 |
. . . . . . . . . . . 12
โข {๐ง} โ V |
59 | 58 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ {๐ง} โ V) |
60 | | xpcomeng 6827 |
. . . . . . . . . . 11
โข (({๐ง} โ V โง ๐ต โ Fin) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ (๐ต ร {๐ง})) |
61 | 59, 37, 60 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ (๐ต ร {๐ง})) |
62 | 40 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ๐ง โ V) |
63 | | xpsneng 6821 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ต โ Fin โง ๐ง โ V) โ (๐ต ร {๐ง}) โ ๐ต) |
64 | 37, 62, 63 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (๐ต ร {๐ง}) โ ๐ต) |
65 | | entr 6783 |
. . . . . . . . . 10
โข ((({๐ง} ร ๐ต) โ (๐ต ร {๐ง}) โง (๐ต ร {๐ง}) โ ๐ต) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ ๐ต) |
66 | 61, 64, 65 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ ๐ต) |
67 | | hashen 10763 |
. . . . . . . . . 10
โข ((({๐ง} ร ๐ต) โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ ((โฏโ({๐ง} ร ๐ต)) = (โฏโ๐ต) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ ๐ต)) |
68 | 45, 37, 67 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ((โฏโ({๐ง} ร ๐ต)) = (โฏโ๐ต) โ ({๐ง} ร ๐ต) โ ๐ต)) |
69 | 66, 68 | mpbird 167 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (โฏโ({๐ง} ร ๐ต)) = (โฏโ๐ต)) |
70 | 69 | oveq2d 5890 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ({๐ง} ร ๐ต))) = ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
71 | 57, 70 | eqtrd 2210 |
. . . . . 6
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (โฏโ((๐ฆ ร ๐ต) โช ({๐ง} ร ๐ต))) = ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
72 | 35, 71 | eqtrid 2222 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (โฏโ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต)) = ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
73 | 72 | adantr 276 |
. . . 4
โข
(((((๐ด โ Fin
โง ๐ต โ Fin) โง
๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โง (โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต))) โ (โฏโ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต)) = ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
74 | | hashunsng 10786 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ง โ V โ ((๐ฆ โ Fin โง ยฌ ๐ง โ ๐ฆ) โ (โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) = ((โฏโ๐ฆ) + 1))) |
75 | 40, 74 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ฆ โ Fin โง ยฌ ๐ง โ ๐ฆ) โ (โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) = ((โฏโ๐ฆ) + 1)) |
76 | 75 | oveq1d 5889 |
. . . . . . 7
โข ((๐ฆ โ Fin โง ยฌ ๐ง โ ๐ฆ) โ ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต)) = (((โฏโ๐ฆ) + 1) ยท (โฏโ๐ต))) |
77 | 36, 47, 76 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต)) = (((โฏโ๐ฆ) + 1) ยท (โฏโ๐ต))) |
78 | | hashcl 10760 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฆ โ Fin โ
(โฏโ๐ฆ) โ
โ0) |
79 | 78 | nn0cnd 9230 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฆ โ Fin โ
(โฏโ๐ฆ) โ
โ) |
80 | 36, 79 | syl 14 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (โฏโ๐ฆ) โ โ) |
81 | 37, 27 | syl 14 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (โฏโ๐ต) โ โ) |
82 | 80, 81 | adddirp1d 7983 |
. . . . . 6
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ (((โฏโ๐ฆ) + 1) ยท
(โฏโ๐ต)) =
(((โฏโ๐ฆ)
ยท (โฏโ๐ต))
+ (โฏโ๐ต))) |
83 | 77, 82 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต)) = (((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
84 | 83 | adantr 276 |
. . . 4
โข
(((((๐ด โ Fin
โง ๐ต โ Fin) โง
๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โง (โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต))) โ ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต)) = (((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต)) + (โฏโ๐ต))) |
85 | 33, 73, 84 | 3eqtr4d 2220 |
. . 3
โข
(((((๐ด โ Fin
โง ๐ต โ Fin) โง
๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โง (โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต))) โ (โฏโ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต)) = ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต))) |
86 | 85 | ex 115 |
. 2
โข ((((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โง ๐ฆ โ Fin) โง (๐ฆ โ ๐ด โง ๐ง โ (๐ด โ ๐ฆ))) โ ((โฏโ(๐ฆ ร ๐ต)) = ((โฏโ๐ฆ) ยท (โฏโ๐ต)) โ (โฏโ((๐ฆ โช {๐ง}) ร ๐ต)) = ((โฏโ(๐ฆ โช {๐ง})) ยท (โฏโ๐ต)))) |
87 | | simpl 109 |
. 2
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ ๐ด โ Fin) |
88 | 5, 10, 15, 20, 31, 86, 87 | findcard2sd 6891 |
1
โข ((๐ด โ Fin โง ๐ต โ Fin) โ
(โฏโ(๐ด ร
๐ต)) = ((โฏโ๐ด) ยท (โฏโ๐ต))) |