ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashxp GIF version

Theorem hashxp 10790
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4637 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (𝑥 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
21fveq2d 5515 . . 3 (𝑥 = ∅ → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(∅ × 𝐵)))
3 fveq2 5511 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
43oveq1d 5884 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)))
52, 4eqeq12d 2192 . 2 (𝑥 = ∅ → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(∅ × 𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵))))
6 xpeq1 4637 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 × 𝐵) = (𝑦 × 𝐵))
76fveq2d 5515 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(𝑦 × 𝐵)))
8 fveq2 5511 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
98oveq1d 5884 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)))
107, 9eqeq12d 2192 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))))
11 xpeq1 4637 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 × 𝐵) = ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵))
1211fveq2d 5515 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)))
13 fveq2 5511 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1413oveq1d 5884 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)))
1512, 14eqeq12d 2192 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵))))
16 xpeq1 4637 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵))
1716fveq2d 5515 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘(𝑥 × 𝐵)) = (♯‘(𝐴 × 𝐵)))
18 fveq2 5511 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
1918oveq1d 5884 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
2017, 19eqeq12d 2192 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘(𝑥 × 𝐵)) = ((♯‘𝑥) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵))))
21 0xp 4703 . . . . 5 (∅ × 𝐵) = ∅
2221fveq2i 5514 . . . 4 (♯‘(∅ × 𝐵)) = (♯‘∅)
23 hash0 10760 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2422, 23eqtri 2198 . . 3 (♯‘(∅ × 𝐵)) = 0
2523oveq1i 5879 . . . 4 ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)) = (0 · (♯‘𝐵))
26 hashcl 10745 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 9220 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
2827mul02d 8339 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (0 · (♯‘𝐵)) = 0)
2928adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (0 · (♯‘𝐵)) = 0)
3025, 29eqtrid 2222 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)) = 0)
3124, 30eqtr4id 2229 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(∅ × 𝐵)) = ((♯‘∅) · (♯‘𝐵)))
32 oveq1 5876 . . . . 5 ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
3332adantl 277 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
34 xpundir 4680 . . . . . . 7 ((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵) = ((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))
3534fveq2i 5514 . . . . . 6 (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵)))
36 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝐵 ∈ Fin)
38 xpfi 6923 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
3936, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 × 𝐵) ∈ Fin)
40 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
41 snfig 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → {𝑧} ∈ Fin)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {𝑧} ∈ Fin
43 xpfi 6923 . . . . . . . . . 10 (({𝑧} ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin)
4442, 43mpan 424 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin)
4544ad3antlr 493 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin)
46 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4746eldifbd 3141 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
48 inxp 4757 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵))
49 disjsn 3653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
5049biimpri 133 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑦 → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
5150xpeq1d 4646 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = (∅ × (𝐵𝐵)))
52 0xp 4703 . . . . . . . . . . 11 (∅ × (𝐵𝐵)) = ∅
5351, 52eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑦 → ((𝑦 ∩ {𝑧}) × (𝐵𝐵)) = ∅)
5448, 53eqtrid 2222 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦 → ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅)
5547, 54syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅)
56 hashun 10769 . . . . . . . 8 (((𝑦 × 𝐵) ∈ Fin ∧ ({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝑦 × 𝐵) ∩ ({𝑧} × 𝐵)) = ∅) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
5739, 45, 55, 56syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))))
5840snex 4182 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧} ∈ V
5958a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → {𝑧} ∈ V)
60 xpcomeng 6822 . . . . . . . . . . 11 (({𝑧} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑧} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝑧}))
6159, 37, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ({𝑧} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝑧}))
6240a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
63 xpsneng 6816 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵 × {𝑧}) ≈ 𝐵)
6437, 62, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝐵 × {𝑧}) ≈ 𝐵)
65 entr 6778 . . . . . . . . . 10 ((({𝑧} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝑧}) ∧ (𝐵 × {𝑧}) ≈ 𝐵) → ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵)
6661, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵)
67 hashen 10748 . . . . . . . . . 10 ((({𝑧} × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵))
6845, 37, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵) ↔ ({𝑧} × 𝐵) ≈ 𝐵))
6966, 68mpbird 167 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘({𝑧} × 𝐵)) = (♯‘𝐵))
7069oveq2d 5885 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
7157, 70eqtrd 2210 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘((𝑦 × 𝐵) ∪ ({𝑧} × 𝐵))) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
7235, 71eqtrid 2222 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
7372adantr 276 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) + (♯‘𝐵)))
74 hashunsng 10771 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
7540, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
7675oveq1d 5884 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)))
7736, 47, 76syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)))
78 hashcl 10745 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
7978nn0cnd 9220 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
8036, 79syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
8137, 27syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
8280, 81adddirp1d 7974 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (((♯‘𝑦) + 1) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
8377, 82eqtrd 2210 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
8483adantr 276 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)) = (((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) + (♯‘𝐵)))
8533, 73, 843eqtr4d 2220 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵))) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵)))
8685ex 115 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((♯‘(𝑦 × 𝐵)) = ((♯‘𝑦) · (♯‘𝐵)) → (♯‘((𝑦 ∪ {𝑧}) × 𝐵)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · (♯‘𝐵))))
87 simpl 109 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
885, 10, 15, 20, 31, 86, 87findcard2sd 6886 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cdif 3126  cun 3127  cin 3128  wss 3129  c0 3422  {csn 3591   class class class wbr 4000   × cxp 4621  cfv 5212  (class class class)co 5869  cen 6732  Fincfn 6734  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  chash 10739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-ihash 10740
This theorem is referenced by:  crth  12207  phimullem  12208
  Copyright terms: Public domain W3C validator