ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumconst GIF version

Theorem fsumconst 11109
Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11010 . . 3 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 fveq2 5373 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
32oveq1d 5741 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘∅) · 𝐵))
41, 3eqeq12d 2127 . 2 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵)))
5 sumeq1 11010 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
6 fveq2 5373 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
76oveq1d 5741 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
85, 7eqeq12d 2127 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)))
9 sumeq1 11010 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10 fveq2 5373 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1110oveq1d 5741 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
129, 11eqeq12d 2127 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
13 sumeq1 11010 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
14 fveq2 5373 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
1514oveq1d 5741 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
1613, 15eqeq12d 2127 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
17 hash0 10430 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1817oveq1i 5736 . . . 4 ((♯‘∅) · 𝐵) = (0 · 𝐵)
19 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mul02d 8067 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
2118, 20syl5eq 2157 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((♯‘∅) · 𝐵) = 0)
22 sum0 11043 . . 3 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2321, 22syl6reqr 2164 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵))
24 simpr 109 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
25 vex 2658 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
26 eqidd 2114 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝐵)
2726sumsn 11066 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
2825, 27mpan 418 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
2928ad4antlr 484 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
3024, 29oveq12d 5744 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
31 simprr 504 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
3231eldifbd 3047 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
33 disjsn 3549 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
3432, 33sylibr 133 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
35 eqidd 2114 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
36 simplr 502 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37 snfig 6660 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ V → {𝑧} ∈ Fin)
3837elv 2659 . . . . . . . . 9 {𝑧} ∈ Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → {𝑧} ∈ Fin)
40 unfidisj 6761 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
4136, 39, 34, 40syl3anc 1197 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
42 simp-4r 514 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4334, 35, 41, 42fsumsplit 11062 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
4443adantr 272 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
45 hashcl 10414 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4645ad3antlr 482 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 8930 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
48 simp-4r 514 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4947, 48adddirp1d 7710 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
5030, 44, 493eqtr4d 2155 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
5136adantr 272 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
5238a1i 9 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → {𝑧} ∈ Fin)
5334adantr 272 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
54 hashun 10438 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1197 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
56 hashsng 10431 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ V → (♯‘{𝑧}) = 1)
5756elv 2659 . . . . . . 7 (♯‘{𝑧}) = 1
5857oveq2i 5737 . . . . . 6 ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)
5955, 58syl6eq 2161 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
6059oveq1d 5741 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
6150, 60eqtr4d 2148 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
6261ex 114 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
63 simpl 108 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6737 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1312  wcel 1461  Vcvv 2655  cdif 3032  cun 3033  cin 3034  wss 3035  c0 3327  {csn 3491  cfv 5079  (class class class)co 5726  Fincfn 6586  cc 7539  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546  0cn0 8875  chash 10408  Σcsu 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-irdg 6219  df-frec 6240  df-1o 6265  df-oadd 6269  df-er 6381  df-en 6587  df-dom 6588  df-fin 6589  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-fz 9678  df-fzo 9807  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-ihash 10409  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-clim 10934  df-sumdc 11009
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11110  hashiun  11133  hash2iun1dif1  11135  mertenslemi1  11190
  Copyright terms: Public domain W3C validator