ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumconst GIF version

Theorem fsumconst 10848
Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 10744 . . 3 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 fveq2 5305 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
32oveq1d 5667 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘∅) · 𝐵))
41, 3eqeq12d 2102 . 2 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵)))
5 sumeq1 10744 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
6 fveq2 5305 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
76oveq1d 5667 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
85, 7eqeq12d 2102 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)))
9 sumeq1 10744 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10 fveq2 5305 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1110oveq1d 5667 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
129, 11eqeq12d 2102 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
13 sumeq1 10744 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
14 fveq2 5305 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
1514oveq1d 5667 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
1613, 15eqeq12d 2102 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
17 hash0 10205 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1817oveq1i 5662 . . . 4 ((♯‘∅) · 𝐵) = (0 · 𝐵)
19 simpr 108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mul02d 7870 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
2118, 20syl5eq 2132 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((♯‘∅) · 𝐵) = 0)
22 sum0 10780 . . 3 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2321, 22syl6reqr 2139 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵))
24 simpr 108 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
25 vex 2622 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
26 eqidd 2089 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝐵)
2726sumsn 10805 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
2825, 27mpan 415 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
2928ad4antlr 479 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
3024, 29oveq12d 5670 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
31 simprr 499 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
3231eldifbd 3011 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
33 disjsn 3504 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
3432, 33sylibr 132 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
35 eqidd 2089 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
36 simplr 497 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37 snfig 6531 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ V → {𝑧} ∈ Fin)
3837elv 2623 . . . . . . . . 9 {𝑧} ∈ Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → {𝑧} ∈ Fin)
40 unfidisj 6632 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
4136, 39, 34, 40syl3anc 1174 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
42 simp-4r 509 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4334, 35, 41, 42fsumsplit 10801 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
4443adantr 270 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
45 hashcl 10189 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4645ad3antlr 477 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 8728 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
48 simp-4r 509 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4947, 48adddirp1d 7514 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
5030, 44, 493eqtr4d 2130 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
5136adantr 270 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
5238a1i 9 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → {𝑧} ∈ Fin)
5334adantr 270 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
54 hashun 10213 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1174 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
56 hashsng 10206 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ V → (♯‘{𝑧}) = 1)
5756elv 2623 . . . . . . 7 (♯‘{𝑧}) = 1
5857oveq2i 5663 . . . . . 6 ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)
5955, 58syl6eq 2136 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
6059oveq1d 5667 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
6150, 60eqtr4d 2123 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
6261ex 113 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
63 simpl 107 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6608 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  cdif 2996  cun 2997  cin 2998  wss 2999  c0 3286  {csn 3446  cfv 5015  (class class class)co 5652  Fincfn 6457  cc 7348  0cc0 7350  1c1 7351   + caddc 7353   · cmul 7355  0cn0 8673  chash 10183  Σcsu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  10849  hashiun  10872  hash2iun1dif1  10874  mertenslemi1  10929
  Copyright terms: Public domain W3C validator