ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumconst GIF version

Theorem fsumconst 11462
Description: The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11363 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
2 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
32oveq1d 5890 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
41, 3eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต)))
5 sumeq1 11363 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
6 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
76oveq1d 5890 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
85, 7eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)))
9 sumeq1 11363 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
10 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1110oveq1d 5890 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
129, 11eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
13 sumeq1 11363 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
14 fveq2 5516 . . . 4 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1514oveq1d 5890 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
1613, 15eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
17 sum0 11396 . . 3 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 0
18 hash0 10776 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
1918oveq1i 5885 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต)
20 simpr 110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120mul02d 8349 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2219, 21eqtrid 2222 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = 0)
2317, 22eqtr4id 2229 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
24 simpr 110 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
25 vex 2741 . . . . . . . 8 ๐‘ง โˆˆ V
26 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = ๐ต)
2726sumsn 11419 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2825, 27mpan 424 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2928ad4antlr 495 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
3024, 29oveq12d 5893 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
31 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3231eldifbd 3142 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
33 disjsn 3655 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
3432, 33sylibr 134 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
35 eqidd 2178 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
36 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
37 snfig 6814 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
3837elv 2742 . . . . . . . . 9 {๐‘ง} โˆˆ Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
40 unfidisj 6921 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
4136, 39, 34, 40syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
42 simp-4r 542 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4334, 35, 41, 42fsumsplit 11415 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
4443adantr 276 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
45 hashcl 10761 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4645ad3antlr 493 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4746nn0cnd 9231 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
48 simp-4r 542 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4947, 48adddirp1d 7984 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
5030, 44, 493eqtr4d 2220 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
5136adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
5238a1i 9 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
5334adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
54 hashun 10785 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1238 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
56 hashsng 10778 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1)
5756elv 2742 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1
5857oveq2i 5886 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)
5955, 58eqtrdi 2226 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
6059oveq1d 5890 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
6150, 60eqtr4d 2213 . . 3 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
6261ex 115 . 2 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
63 simpl 109 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6892 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2738   โˆ– cdif 3127   โˆช cun 3128   โˆฉ cin 3129   โŠ† wss 3130  โˆ…c0 3423  {csn 3593  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816  โ„•0cn0 9176  โ™ฏchash 10755  ฮฃcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11463  hashiun  11486  hash2iun1dif1  11488  mertenslemi1  11543  sumhashdc  12345
  Copyright terms: Public domain W3C validator