Theorem fsumconst 11986

Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11887	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		fveq2 5632	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
3	2	oveq1d 6025	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘∅) · 𝐵))
4	1, 3	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵)))
5		sumeq1 11887	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
6		fveq2 5632	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
7	6	oveq1d 6025	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
8	5, 7	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)))
9		sumeq1 11887	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10		fveq2 5632	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
11	10	oveq1d 6025	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
12	9, 11	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
13		sumeq1 11887	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14		fveq2 5632	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
15	14	oveq1d 6025	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
16	13, 15	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
17		sum0 11920	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
18		hash0 11035	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	18	oveq1i 6020	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) · 𝐵) = (0 · 𝐵)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	mul02d 8554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
22	19, 21	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((♯‘∅) · 𝐵) = 0)
23	17, 22	eqtr4id 2281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵))
24		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
25		vex 2802	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
26		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = 𝐵)
27	26	sumsn 11943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
28	25, 27	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
29	28	ad4antlr 495	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
30	24, 29	oveq12d 6028	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
32	31	eldifbd 3209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
33		disjsn 3728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
34	32, 33	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
35		eqidd 2230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
36		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37		snfig 6980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ V → {𝑧} ∈ Fin)
38	37	elv 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → {𝑧} ∈ Fin)
40		unfidisj 7100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
41	36, 39, 34, 40	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
42		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	34, 35, 41, 42	fsumsplit 11939	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
45		hashcl 11020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
46	45	ad3antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 9440	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
48		simp-4r 542	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	47, 48	adddirp1d 8189	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
50	30, 44, 49	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
51	36	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
52	38	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → {𝑧} ∈ Fin)
53	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
54		hashun 11044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
56		hashsng 11037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (♯‘{𝑧}) = 1)
57	56	elv 2803	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{𝑧}) = 1
58	57	oveq2i 6021	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)
59	55, 58	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
60	59	oveq1d 6025	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
61	50, 60	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
62	61	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
63		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
64	4, 8, 12, 16, 23, 62, 63	findcard2sd 7067	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Fincfn 6900  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020  ℕ₀cn0 9385  ♯chash 11014  Σcsu 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11987  hashiun  12010  hash2iun1dif1  12012  mertenslemi1  12067  sumhashdc  12891  0sgm  15680  lgsquadlem1  15777