ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumconst GIF version

Theorem fsumconst 11446
Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11347 . . 3 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 fveq2 5511 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
32oveq1d 5884 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘∅) · 𝐵))
41, 3eqeq12d 2192 . 2 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵)))
5 sumeq1 11347 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
6 fveq2 5511 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
76oveq1d 5884 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
85, 7eqeq12d 2192 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)))
9 sumeq1 11347 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10 fveq2 5511 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1110oveq1d 5884 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
129, 11eqeq12d 2192 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
13 sumeq1 11347 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
14 fveq2 5511 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
1514oveq1d 5884 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
1613, 15eqeq12d 2192 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑘𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
17 sum0 11380 . . 3 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
18 hash0 10760 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
1918oveq1i 5879 . . . 4 ((♯‘∅) · 𝐵) = (0 · 𝐵)
20 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2120mul02d 8339 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
2219, 21eqtrid 2222 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((♯‘∅) · 𝐵) = 0)
2317, 22eqtr4id 2229 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵))
24 simpr 110 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
25 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
26 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝐵)
2726sumsn 11403 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
2825, 27mpan 424 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
2928ad4antlr 495 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
3024, 29oveq12d 5887 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
31 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
3231eldifbd 3141 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
33 disjsn 3653 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
3432, 33sylibr 134 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
35 eqidd 2178 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
36 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37 snfig 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ V → {𝑧} ∈ Fin)
3837elv 2741 . . . . . . . . 9 {𝑧} ∈ Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → {𝑧} ∈ Fin)
40 unfidisj 6915 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
4136, 39, 34, 40syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
42 simp-4r 542 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4334, 35, 41, 42fsumsplit 11399 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
4443adantr 276 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
45 hashcl 10745 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4645ad3antlr 493 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
4746nn0cnd 9220 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
48 simp-4r 542 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4947, 48adddirp1d 7974 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
5030, 44, 493eqtr4d 2220 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
5136adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
5238a1i 9 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → {𝑧} ∈ Fin)
5334adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
54 hashun 10769 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1238 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
56 hashsng 10762 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ V → (♯‘{𝑧}) = 1)
5756elv 2741 . . . . . . 7 (♯‘{𝑧}) = 1
5857oveq2i 5880 . . . . . 6 ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)
5955, 58eqtrdi 2226 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
6059oveq1d 5884 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
6150, 60eqtr4d 2213 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
6261ex 115 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
63 simpl 109 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6886 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cdif 3126  cun 3127  cin 3128  wss 3129  c0 3422  {csn 3591  cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  0cn0 9165  chash 10739  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11447  hashiun  11470  hash2iun1dif1  11472  mertenslemi1  11527  sumhashdc  12328
  Copyright terms: Public domain W3C validator