ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumconst GIF version

Theorem fsumconst 11461
Description: The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11362 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
2 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
32oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
41, 3eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต)))
5 sumeq1 11362 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
6 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
76oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
85, 7eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)))
9 sumeq1 11362 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
10 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1110oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
129, 11eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
13 sumeq1 11362 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
14 fveq2 5515 . . . 4 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1514oveq1d 5889 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
1613, 15eqeq12d 2192 . 2 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
17 sum0 11395 . . 3 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 0
18 hash0 10775 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
1918oveq1i 5884 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต)
20 simpr 110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120mul02d 8348 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2219, 21eqtrid 2222 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = 0)
2317, 22eqtr4id 2229 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
24 simpr 110 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
25 vex 2740 . . . . . . . 8 ๐‘ง โˆˆ V
26 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = ๐ต)
2726sumsn 11418 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2825, 27mpan 424 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2928ad4antlr 495 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
3024, 29oveq12d 5892 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
31 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3231eldifbd 3141 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
33 disjsn 3654 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
3432, 33sylibr 134 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
35 eqidd 2178 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
36 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
37 snfig 6813 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
3837elv 2741 . . . . . . . . 9 {๐‘ง} โˆˆ Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
40 unfidisj 6920 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
4136, 39, 34, 40syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
42 simp-4r 542 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4334, 35, 41, 42fsumsplit 11414 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
4443adantr 276 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
45 hashcl 10760 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4645ad3antlr 493 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4746nn0cnd 9230 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
48 simp-4r 542 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4947, 48adddirp1d 7983 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
5030, 44, 493eqtr4d 2220 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
5136adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
5238a1i 9 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
5334adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
54 hashun 10784 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1238 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
56 hashsng 10777 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1)
5756elv 2741 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1
5857oveq2i 5885 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)
5955, 58eqtrdi 2226 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
6059oveq1d 5889 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
6150, 60eqtr4d 2213 . . 3 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
6261ex 115 . 2 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
63 simpl 109 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6891 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2737   โˆ– cdif 3126   โˆช cun 3127   โˆฉ cin 3128   โŠ† wss 3129  โˆ…c0 3422  {csn 3592  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Fincfn 6739  โ„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815  โ„•0cn0 9175  โ™ฏchash 10754  ฮฃcsu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11462  hashiun  11485  hash2iun1dif1  11487  mertenslemi1  11542  sumhashdc  12344
  Copyright terms: Public domain W3C validator