ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumconst GIF version

Theorem fsumconst 11481
Description: The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11382 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
2 fveq2 5530 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
32oveq1d 5906 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
41, 3eqeq12d 2204 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต)))
5 sumeq1 11382 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
6 fveq2 5530 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
76oveq1d 5906 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
85, 7eqeq12d 2204 . 2 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)))
9 sumeq1 11382 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
10 fveq2 5530 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1110oveq1d 5906 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
129, 11eqeq12d 2204 . 2 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
13 sumeq1 11382 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
14 fveq2 5530 . . . 4 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1514oveq1d 5906 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
1613, 15eqeq12d 2204 . 2 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
17 sum0 11415 . . 3 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 0
18 hash0 10795 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
1918oveq1i 5901 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต)
20 simpr 110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120mul02d 8368 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2219, 21eqtrid 2234 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = 0)
2317, 22eqtr4id 2241 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
24 simpr 110 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
25 vex 2755 . . . . . . . 8 ๐‘ง โˆˆ V
26 eqidd 2190 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = ๐ต)
2726sumsn 11438 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2825, 27mpan 424 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2928ad4antlr 495 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
3024, 29oveq12d 5909 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
31 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3231eldifbd 3156 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
33 disjsn 3669 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
3432, 33sylibr 134 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
35 eqidd 2190 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
36 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
37 snfig 6832 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
3837elv 2756 . . . . . . . . 9 {๐‘ง} โˆˆ Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
40 unfidisj 6939 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
4136, 39, 34, 40syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
42 simp-4r 542 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4334, 35, 41, 42fsumsplit 11434 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
4443adantr 276 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
45 hashcl 10780 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4645ad3antlr 493 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4746nn0cnd 9250 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
48 simp-4r 542 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4947, 48adddirp1d 8003 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
5030, 44, 493eqtr4d 2232 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
5136adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
5238a1i 9 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
5334adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
54 hashun 10804 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1249 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
56 hashsng 10797 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1)
5756elv 2756 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1
5857oveq2i 5902 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)
5955, 58eqtrdi 2238 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
6059oveq1d 5906 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
6150, 60eqtr4d 2225 . . 3 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
6261ex 115 . 2 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
63 simpl 109 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6910 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  Vcvv 2752   โˆ– cdif 3141   โˆช cun 3142   โˆฉ cin 3143   โІ wss 3144  โˆ…c0 3437  {csn 3607  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  Fincfn 6758  โ„‚cc 7828  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835  โ„•0cn0 9195  โ™ฏchash 10774  ฮฃcsu 11380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11482  hashiun  11505  hash2iun1dif1  11507  mertenslemi1  11562  sumhashdc  12364
  Copyright terms: Public domain W3C validator