ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumconst GIF version

Theorem fsumconst 11475
Description: The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumconst ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜

Proof of Theorem fsumconst
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11376 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
2 fveq2 5527 . . . 4 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
32oveq1d 5903 . . 3 (๐‘ค = โˆ… โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
41, 3eqeq12d 2202 . 2 (๐‘ค = โˆ… โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต)))
5 sumeq1 11376 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
6 fveq2 5527 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
76oveq1d 5903 . . 3 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
85, 7eqeq12d 2202 . 2 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)))
9 sumeq1 11376 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
10 fveq2 5527 . . . 4 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})))
1110oveq1d 5903 . . 3 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
129, 11eqeq12d 2202 . 2 (๐‘ค = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
13 sumeq1 11376 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
14 fveq2 5527 . . . 4 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ค) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
1514oveq1d 5903 . . 3 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
1613, 15eqeq12d 2202 . 2 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ค ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ค) ยท ๐ต) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต)))
17 sum0 11409 . . 3 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 0
18 hash0 10789 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
1918oveq1i 5898 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต)
20 simpr 110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120mul02d 8362 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2219, 21eqtrid 2232 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต) = 0)
2317, 22eqtr4id 2239 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = ((โ™ฏโ€˜โˆ…) ยท ๐ต))
24 simpr 110 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต))
25 vex 2752 . . . . . . . 8 ๐‘ง โˆˆ V
26 eqidd 2188 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = ๐ต)
2726sumsn 11432 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2825, 27mpan 424 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
2928ad4antlr 495 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต = ๐ต)
3024, 29oveq12d 5906 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
31 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3231eldifbd 3153 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
33 disjsn 3666 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ… โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
3432, 33sylibr 134 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
35 eqidd 2188 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}))
36 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
37 snfig 6827 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
3837elv 2753 . . . . . . . . 9 {๐‘ง} โˆˆ Fin
3938a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
40 unfidisj 6934 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
4136, 39, 34, 40syl3anc 1248 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โˆˆ Fin)
42 simp-4r 542 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4334, 35, 41, 42fsumsplit 11428 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
4443adantr 276 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ง}๐ต))
45 hashcl 10774 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4645ad3antlr 493 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
4746nn0cnd 9244 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
48 simp-4r 542 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4947, 48adddirp1d 7997 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) + ๐ต))
5030, 44, 493eqtr4d 2230 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
5136adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
5238a1i 9 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ {๐‘ง} โˆˆ Fin)
5334adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…)
54 hashun 10798 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ง} โˆˆ Fin โˆง (๐‘ฆ โˆฉ {๐‘ง}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
5551, 52, 53, 54syl3anc 1248 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})))
56 hashsng 10791 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ V โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1)
5756elv 2753 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜{๐‘ง}) = 1
5857oveq2i 5899 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1)
5955, 58eqtrdi 2236 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1))
6059oveq1d 5903 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) + 1) ยท ๐ต))
6150, 60eqtr4d 2223 . . 3 (((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต))
6261ex 115 . 2 ((((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) ยท ๐ต) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = ((โ™ฏโ€˜(๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})) ยท ๐ต)))
63 simpl 109 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
644, 8, 12, 16, 23, 62, 63findcard2sd 6905 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  Vcvv 2749   โˆ– cdif 3138   โˆช cun 3139   โˆฉ cin 3140   โІ wss 3141  โˆ…c0 3434  {csn 3604  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Fincfn 6753  โ„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829  โ„•0cn0 9189  โ™ฏchash 10768  ฮฃcsu 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  11476  hashiun  11499  hash2iun1dif1  11501  mertenslemi1  11556  sumhashdc  12358
  Copyright terms: Public domain W3C validator