Theorem fsumconst 12168

Description: The sum of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fsumconst

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 12068	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		fveq2 5675	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
3	2	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘∅) · 𝐵))
4	1, 3	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵)))
5		sumeq1 12068	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
6		fveq2 5675	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
7	6	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
8	5, 7	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)))
9		sumeq1 12068	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
10		fveq2 5675	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
11	10	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
12	9, 11	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
13		sumeq1 12068	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
14		fveq2 5675	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
15	14	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((♯‘𝑤) · 𝐵) = ((♯‘𝐴) · 𝐵))
16	13, 15	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = ((♯‘𝑤) · 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵)))
17		sum0 12102	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
18		hash0 11187	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	18	oveq1i 6068	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) · 𝐵) = (0 · 𝐵)
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	mul02d 8683	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 · 𝐵) = 0)
22	19, 21	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((♯‘∅) · 𝐵) = 0)
23	17, 22	eqtr4id 2286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ((♯‘∅) · 𝐵))
24		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵))
25		vex 2818	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
26		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = 𝐵)
27	26	sumsn 12125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
28	25, 27	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
29	28	ad4antlr 495	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝐵)
30	24, 29	oveq12d 6076	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
31		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
32	31	eldifbd 3226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
33		disjsn 3756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
34	32, 33	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
35		eqidd 2235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
36		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37		snfig 7069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ V → {𝑧} ∈ Fin)
38	37	elv 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
39	38	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → {𝑧} ∈ Fin)
40		unfidisj 7195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
41	36, 39, 34, 40	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
42		simp-4r 544	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	34, 35, 41, 42	fsumsplit 12121	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
45		hashcl 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
46	45	ad3antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
47	46	nn0cnd 9575	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
48		simp-4r 544	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
49	47, 48	adddirp1d 8316	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) · 𝐵) + 𝐵))
50	30, 44, 49	3eqtr4d 2277	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
51	36	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
52	38	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → {𝑧} ∈ Fin)
53	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
54		hashun 11197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})))
56		hashsng 11189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (♯‘{𝑧}) = 1)
57	56	elv 2819	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{𝑧}) = 1
58	57	oveq2i 6069	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑦) + (♯‘{𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)
59	55, 58	eqtrdi 2283	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
60	59	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵) = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝐵))
61	50, 60	eqtr4d 2270	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵))
62	61	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝐵)))
63		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
64	4, 8, 12, 16, 23, 62, 63	findcard2sd 7162	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ((♯‘𝐴) · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∖ cdif 3211   ∪ cun 3212   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  {csn 3694  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148  ℕ₀cn0 9516  ♯chash 11166  Σcsu 12066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067

This theorem is referenced by:  fsumdifsnconst  12169  hashiun  12192  hash2iun1dif1  12194  mertenslemi1  12249  sumhashdc  13073  0sgm  15982  lgsquadlem1  16079