Theorem fprodmodd 12002

Description: If all factors of two finite products are equal modulo 𝑀, the products are equal modulo 𝑀. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodmodd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fprodmodd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
fprodmodd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fprodmodd.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀))
3		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
4	3	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
5	2, 4	eqeq12d 2221	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)))
6		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀))
8		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶)
9	8	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
10	7, 9	eqeq12d 2221	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)))
11		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵)
12	11	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀))
13		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶)
14	13	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
15	12, 14	eqeq12d 2221	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
16		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀))
18		prodeq1 11914	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
19	18	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))
20	17, 19	eqeq12d 2221	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀)))
21		prod0 11946	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1)
23	22	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
24		prod0 11946	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
25	24	eqcomi 2210	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
26	25	oveq1i 5964	. . 3 ⊢ (1 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)
27	23, 26	eqtrdi 2255	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
28		nfcsb1v 3128	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
29		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
30		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
32	31	eldifbd 3180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
33	32	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
34		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
35		ssel 3189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
38	37	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
39		fprodmodd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
40	34, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	adantllr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
43		eldifi 3297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑖 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑖 ∈ 𝐴)
45	39	ralrimiva 2580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
46		rspcsbela 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
47	44, 45, 46	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 9509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50		csbeq1a 3104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
51	28, 29, 30, 33, 42, 49, 50	fprodunsn 11965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
52	51	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
53	52	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
54	40	adantllr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
55	29, 54	fprodzcl 11970	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
57		fprodmodd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
58	34, 38, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
59	58	adantllr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
60	29, 59	fprodzcl 11970	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
61	60	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
62	47	ad4ant13 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
63	57	ralrimiva 2580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ)
64		rspcsbela 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
65	44, 63, 64	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
66	65	ad4ant13 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
67		fprodmodd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
68		nnq 9767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
69	67, 68	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
70	69	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
71	67	nngt0d 9093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
72	71	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 0 < 𝑀)
73		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
74		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
75	74	ralrimiva 2580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
76		rspsbca 3084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀)) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
77	44, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
78		vex 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑖 ∈ V
79		sbceqg 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
80	78, 79	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
81	77, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀))
82		csbov1g 5995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀))
83	82	elv 2777	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀)
84		csbov1g 5995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
85	84	elv 2777	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀)
86	81, 83, 85	3eqtr3g 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
87	86	ad4ant13 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
88	56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87	modqmul12d 10536	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
89		nfcsb1v 3128	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶
90	58	zcnd 9509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	90	adantllr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	65	zcnd 9509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
94		csbeq1a 3104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶)
95	89, 29, 30, 33, 91, 93, 94	fprodunsn 11965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶))
96	95	oveq1d 5969	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
97	96	eqcomd 2212	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
98	97	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
99	53, 88, 98	3eqtrd 2243	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
100	99	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
101		fprodmodd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
102	5, 10, 15, 20, 27, 100, 101	findcard2sd 7001	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773  [wsbc 3000  ⦋csb 3095   ∖ cdif 3165   ∪ cun 3166   ⊆ wss 3168  ∅c0 3462  {csn 3635   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  Fincfn 6837  ℂcc 7936  0cc0 7938  1c1 7939   · cmul 7943   < clt 8120  ℕcn 9049  ℤcz 9385  ℚcq 9753   mod cmo 10480  ∏cprod 11911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-proddc 11912

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  15592