Theorem fprodmodd 11633

Description: If all factors of two finite products are equal modulo 𝑀, the products are equal modulo 𝑀. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodmodd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fprodmodd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
fprodmodd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fprodmodd.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀))
3		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
4	3	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
5	2, 4	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)))
6		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀))
8		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶)
9	8	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
10	7, 9	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)))
11		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵)
12	11	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀))
13		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶)
14	13	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
15	12, 14	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
16		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀))
18		prodeq1 11545	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
19	18	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))
20	17, 19	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀)))
21		prod0 11577	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1)
23	22	oveq1d 5884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
24		prod0 11577	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
25	24	eqcomi 2181	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
26	25	oveq1i 5879	. . 3 ⊢ (1 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)
27	23, 26	eqtrdi 2226	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
28		nfcsb1v 3090	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
29		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
30		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
31		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
32	31	eldifbd 3141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
33	32	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
34		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
35		ssel 3149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
38	37	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
39		fprodmodd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
40	34, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9365	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	adantllr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
43		eldifi 3257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑖 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑖 ∈ 𝐴)
45	39	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
46		rspcsbela 3116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
47	44, 45, 46	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 9365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50		csbeq1a 3066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
51	28, 29, 30, 33, 42, 49, 50	fprodunsn 11596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
52	51	oveq1d 5884	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
53	52	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
54	40	adantllr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
55	29, 54	fprodzcl 11601	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
57		fprodmodd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
58	34, 38, 57	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
59	58	adantllr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
60	29, 59	fprodzcl 11601	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
61	60	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
62	47	ad4ant13 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
63	57	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ)
64		rspcsbela 3116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
65	44, 63, 64	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
66	65	ad4ant13 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
67		fprodmodd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
68		nnq 9622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
69	67, 68	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
70	69	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
71	67	nngt0d 8952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
72	71	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 0 < 𝑀)
73		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
74		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
75	74	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
76		rspsbca 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀)) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
77	44, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
78		vex 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑖 ∈ V
79		sbceqg 3073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
80	78, 79	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
81	77, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀))
82		csbov1g 5909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀))
83	82	elv 2741	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀)
84		csbov1g 5909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
85	84	elv 2741	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀)
86	81, 83, 85	3eqtr3g 2233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
87	86	ad4ant13 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
88	56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87	modqmul12d 10364	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
89		nfcsb1v 3090	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶
90	58	zcnd 9365	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	90	adantllr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	65	zcnd 9365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
94		csbeq1a 3066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶)
95	89, 29, 30, 33, 91, 93, 94	fprodunsn 11596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶))
96	95	oveq1d 5884	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
97	96	eqcomd 2183	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
98	97	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
99	53, 88, 98	3eqtrd 2214	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
100	99	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
101		fprodmodd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
102	5, 10, 15, 20, 27, 100, 101	findcard2sd 6886	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2737  [wsbc 2962  ⦋csb 3057   ∖ cdif 3126   ∪ cun 3127   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  {csn 3591   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  ℂcc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807   < clt 7982  ℕcn 8908  ℤcz 9242  ℚcq 9608   mod cmo 10308  ∏cprod 11542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543

This theorem is referenced by: (None)