Theorem fprodmodd 12410

Description: If all factors of two finite products are equal modulo 𝑀, the products are equal modulo 𝑀. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodmodd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fprodmodd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
fprodmodd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fprodmodd.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀))
3		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
4	3	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
5	2, 4	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)))
6		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀))
8		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶)
9	8	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
10	7, 9	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)))
11		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵)
12	11	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀))
13		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶)
14	13	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
15	12, 14	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
16		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀))
18		prodeq1 12322	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
19	18	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))
20	17, 19	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀)))
21		prod0 12354	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1)
23	22	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
24		prod0 12354	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
25	24	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
26	25	oveq1i 6095	. . 3 ⊢ (1 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)
27	23, 26	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
28		nfcsb1v 3180	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
29		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
30		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
31		simprr 537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
32	31	eldifbd 3232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
33	32	adantlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
34		simpll 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
35		ssel 3242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
38	37	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
39		fprodmodd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
40	34, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	41	adantllr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
43		eldifi 3351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑖 ∈ 𝐴)
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑖 ∈ 𝐴)
45	39	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
46		rspcsbela 3207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
47	44, 45, 46	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50		csbeq1a 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
51	28, 29, 30, 33, 42, 49, 50	fprodunsn 12373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
52	51	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
53	52	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
54	40	adantllr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
55	29, 54	fprodzcl 12378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
56	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
57		fprodmodd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
58	34, 38, 57	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
59	58	adantllr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
60	29, 59	fprodzcl 12378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
61	60	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
62	47	ad4ant13 517	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
63	57	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ)
64		rspcsbela 3207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
65	44, 63, 64	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
66	65	ad4ant13 517	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
67		fprodmodd.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
68		nnq 10035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
69	67, 68	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
70	69	ad3antrrr 496	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
71	67	nngt0d 9349	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
72	71	ad3antrrr 496	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 0 < 𝑀)
73		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
74		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
75	74	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
76		rspsbca 3136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀)) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
77	44, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
78		vex 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑖 ∈ V
79		sbceqg 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
80	78, 79	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
81	77, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀))
82		csbov1g 6126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀))
83	82	elv 2825	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀)
84		csbov1g 6126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
85	84	elv 2825	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀)
86	81, 83, 85	3eqtr3g 2294	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
87	86	ad4ant13 517	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
88	56, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87	modqmul12d 10817	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
89		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶
90	58	zcnd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	90	adantllr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	65	zcnd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
94		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶)
95	89, 29, 30, 33, 91, 93, 94	fprodunsn 12373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶))
96	95	oveq1d 6100	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
97	96	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
98	97	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
99	53, 88, 98	3eqtrd 2275	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
100	99	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
101		fprodmodd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
102	5, 10, 15, 20, 27, 100, 101	findcard2sd 7196	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821  [wsbc 3051  ⦋csb 3147   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360  ℕcn 9305  ℤcz 9646  ℚcq 10021   mod cmo 10761  ∏cprod 12319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-proddc 12320

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5a  16196