ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodmodd GIF version

Theorem fprodmodd 11550
Description: If all factors of two finite products are equal modulo 𝑀, the products are equal modulo 𝑀. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmodd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodmodd.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fprodmodd.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
fprodmodd.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fprodmodd.p ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
Assertion
Ref Expression
fprodmodd (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodmodd
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀))
3 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
43oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
52, 4eqeq12d 2172 . 2 (𝑥 = ∅ → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)))
6 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
76oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀))
8 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘𝑦 𝐶)
98oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀))
107, 9eqeq12d 2172 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)))
11 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵)
1211oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀))
13 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶)
1413oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
1512, 14eqeq12d 2172 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
16 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1716oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀))
18 prodeq1 11462 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
1918oveq1d 5842 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀))
2017, 19eqeq12d 2172 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((∏𝑘𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀)))
21 prod0 11494 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
2221a1i 9 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1)
2322oveq1d 5842 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
24 prod0 11494 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
2524eqcomi 2161 . . . 4 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
2625oveq1i 5837 . . 3 (1 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)
2723, 26eqtrdi 2206 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
28 nfcsb1v 3064 . . . . . . 7 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
29 simplr 520 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
30 simprr 522 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴𝑦))
31 simprr 522 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴𝑦))
3231eldifbd 3114 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑖𝑦)
3332adantlr 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑖𝑦)
34 simpll 519 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
35 ssel 3122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
3635adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
3736adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
3837imp 123 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
39 fprodmodd.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
4034, 38, 39syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
4140zcnd 9293 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4241adantllr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
43 eldifi 3230 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑖𝐴)
4443adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑖𝐴)
4539ralrimiva 2530 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
46 rspcsbela 3090 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
4744, 45, 46syl2anr 288 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
4847zcnd 9293 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4948adantlr 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
50 csbeq1a 3040 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
5128, 29, 30, 33, 42, 49, 50fprodunsn 11513 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵))
5251oveq1d 5842 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵) mod 𝑀))
5352adantr 274 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵) mod 𝑀))
5440adantllr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
5529, 54fprodzcl 11518 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
5655adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
57 fprodmodd.c . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
5834, 38, 57syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
5958adantllr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
6029, 59fprodzcl 11518 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
6160adantr 274 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
6247ad4ant13 505 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
6357ralrimiva 2530 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℤ)
64 rspcsbela 3090 . . . . . . 7 ((𝑖𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℤ) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℤ)
6544, 63, 64syl2anr 288 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℤ)
6665ad4ant13 505 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℤ)
67 fprodmodd.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
68 nnq 9549 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
6967, 68syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
7069ad3antrrr 484 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
7167nngt0d 8883 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
7271ad3antrrr 484 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 0 < 𝑀)
73 simpr 109 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀))
74 fprodmodd.p . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
7574ralrimiva 2530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
76 rspsbca 3020 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀)) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
7744, 75, 76syl2anr 288 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
78 vex 2715 . . . . . . . . 9 𝑖 ∈ V
79 sbceqg 3047 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀)))
8078, 79mp1i 10 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀)))
8177, 80mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀))
82 csbov1g 5864 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ V → 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀))
8382elv 2716 . . . . . . 7 𝑖 / 𝑘(𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀)
84 csbov1g 5864 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ V → 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀))
8584elv 2716 . . . . . . 7 𝑖 / 𝑘(𝐶 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀)
8681, 83, 853eqtr3g 2213 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀))
8786ad4ant13 505 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (𝑖 / 𝑘𝐵 mod 𝑀) = (𝑖 / 𝑘𝐶 mod 𝑀))
8856, 61, 62, 66, 70, 72, 73, 87modqmul12d 10287 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑖 / 𝑘𝐵) mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀))
89 nfcsb1v 3064 . . . . . . . 8 𝑘𝑖 / 𝑘𝐶
9058zcnd 9293 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
9190adantllr 473 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
9265zcnd 9293 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
9392adantlr 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑖 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
94 csbeq1a 3040 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐶 = 𝑖 / 𝑘𝐶)
9589, 29, 30, 33, 91, 93, 94fprodunsn 11513 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 = (∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶))
9695oveq1d 5842 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀) = ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀))
9796eqcomd 2163 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
9897adantr 274 . . . 4 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘𝑦 𝐶 · 𝑖 / 𝑘𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
9953, 88, 983eqtrd 2194 . . 3 ((((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ (∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
10099ex 114 . 2 (((𝜑𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑖 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝑦 𝐶 mod 𝑀) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
101 fprodmodd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1025, 10, 15, 20, 27, 100, 101findcard2sd 6840 1 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘𝐴 𝐶 mod 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  Vcvv 2712  [wsbc 2937  csb 3031  cdif 3099  cun 3100  wss 3102  c0 3395  {csn 3561   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827  Fincfn 6688  cc 7733  0cc0 7735  1c1 7736   · cmul 7740   < clt 7915  cn 8839  cz 9173  cq 9535   mod cmo 10231  cprod 11459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-irdg 6320  df-frec 6341  df-1o 6366  df-oadd 6370  df-er 6483  df-en 6689  df-dom 6690  df-fin 6691  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-fl 10179  df-mod 10232  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-ihash 10662  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-clim 11188  df-proddc 11460
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator